Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

Расчет переходного процесса классическим методом.
Рассчитываем режим до коммутации (ключ разомкнут). Цепь постоянного тока (индуктивное сопротивление равно нулю) представлена на рис.2.2.
Рис.2.2 – Цепь до коммутации
До коммутации постоянный ток течет через сопротивления r1, L, r3, и не проходит через сопротивление r2. Тогда
i10-=iL0-=U0r1+r3=5020+10=1,667 А,
i20- = 0 А.
По законам коммутации получаем независимые начальные условия:
iL0+= iL0-=1,667 А.
Расчет принужденных составляющих. Для их определения рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации (ключ замкнут). В этом случае имеем цепь постоянного тока (индуктивное сопротивление равно нулю), представленную на рис.2.3.
Рис.2.3 – Цепь после коммутации
Так как входной ток не проходит через резистор r2, то I2пр = 0 А.
Ток через резистор r1
I1пр = ILпр = U0r1=5020=2,5 А.
Напряжение на катушке индуктивности (принужденная составляющая):
ULпр = I2прr2=0∙20=0 В.
Для начального момента времени t=0+ имеем:
i1пр(0+) = iLпр(0+) = 2,5 А;
i2пр(0+) = 0 А;
uLпр(0+) = 0 В.
Расчет свободной составляющей.
Составляем характеристическое уравнение для цепи после коммутации через входное сопротивление цепи в комплексной форме:
Zвхjω=r1+r2∙jωLr2+jωL.
Заменим jω на p, получим
Zвхp=r1+r2∙pLr2+pL=r1r2+pL+r2pLr2+pL=pLr1+pLr2+r1r2r2+pL=p(Lr1+Lr2)+r1r2r2+pL.
Приравниваем числитель к нулю, получим характеристическое уравнение
p(Lr1+Lr2)+r1r2=0.
Корень характеристического уравнения
p=-r1r2Lr1+Lr2=-20∙200,5(20+20)=-20 с-1.
Так как получился один отрицательный корень, то свободная составляющая тока iL имеет вид:
iLсвt=Aept.
Находим постоянную интегрирования iLсв0+=Aep∙0=A.
Так как полный ток iLt=iLпрt+iLсвt, то iLсвt=iLt-iLпрt и в момент времени t = 0+ имеем:
iLсв0+=iL0+-iLпр0+=1,667-2,5=-0,833 А.
Тогда A=-0,833 А.
Ток переходного процесса через катушку индуктивности равен
iLt=iLпрt+iLсвt=2,5-0,833e-20t А.
Напряжение на индуктивности
uLt=LdiLtdt=0,5∙d2,5-0,833e-20tdt=0,5∙-0,833-20e-20t=
=8,33e-20t В.
Расчет переходного процесса операторным методом.
Рассчитываем цепь в установившемся режиме до коммутации и определяем независимые начальные условия (см