Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля
На входе электрической схемы действует напряжение, изменяющееся по заданному закону. Необходимо с помощью интеграла Дюамеля найти закон изменения во времени тока в одной из ветвей схемы или напряжения на заданном участке схемы.
Записать аналитическое выражение искомой величины для всех интервалов времени. По найденному аналитическому выражению рассчитать и построить временную диаграмму.
Схема электрической цепи изображена на рисунке 6, график изменения входного напряжения – на рисунке 7. Исходные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходные данные
А, B R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом C, мкФ Определить
15 10 26 36 22 57 31 iR4
Рисунок 6 – Схема электрической цепи
Рисунок 7 – График изменения входного напряжения
Решение
Запишем переходную характеристику в виде:
g2(t) = iR4(t)
Определим iR4(t) при подаче сигнала в виде единичной функции
Применим операторный метод
Рисунок 8 – Опрераторная схема расчёта g2(t)
Изображение единичной функции 1(t) 1p
Применим метод контурных токов
I11(p)*( R1+R2) - I22(p)* R1 - I33(p)* R2 = 1p
- I11(p)* R1 + I22(p)*( R1+R3+R4+1Cp) - I33(p)*( R3+1Cp) = 0
- I11(p)* R2 - I22(p)*( R3+1Cp) + I33(p)*( R2+R3+R5+1Cp) = 0
Главный определитель
∆(p) = R1+R2-R1-R2-R1R1+R3+R4+1Cp-(R3+1Cp)-R2-(R3+1Cp)R2+R3+R5+1Cp = 5,21p+2,84*10331*10-6p
2-й определитель
∆22(p) = R1+R21p-R2-R10-(R3+1Cp)-R20R2+R3+R5+1Cp = 0,066p+3631*10-6p2
Искомый ток
IR4(p)= I22(p) = ∆22(p) ∆(p) = 0,0127p+6,91p(p+546) = 0,0127p+546 + 6,91p(p+546)
Определим iR4(t) пользуясь таблицей преобразований Лапласа
1p+a e-at
1p(p+a) 1a (1- eat)
iR4(t) = 0,0127 - 8,59*10-6*e-546t
Таким образом переходная функция
g2(t) = 0,0127 - 8,59*10-6*e-546t
p = - 546 c-1
Постоянная времени переходного процесса:
τ = 1|p| = 1,83*10-3 c
Окончательно получаем переходную характеристику:
g2(t) = 0,0127 - 8,59*10-6*e-546t
g2(t-τ) = 0,0127 - 8,59*10-6*e-546t *e-546τ
Формула интеграла Дюамеля в общем виде:
u2(t) = u1(0) g2(t) + 0tu1'g2(t-τ)dτ
.
Аналитическая запись входного напряжения может быть представлена как
u1(t) = A+kt при 0≤t≤t12A при t1≤t≤t20 при t2≤t≤∞ ,
следовательно, u1(0) = A , u1(1)'= K ; u1(2)' = 0 ; u1(3)' = 0 ;
Число участков интегрирования определяется числом участков в функции, описывающей входной сигнал, в которых она непрерывна и дифференцируема
. Для функции входного напряжения таких участков три:
0≤t≤t1 , t1≤t≤t2 и t2≤t≤∞
Примем t1 = 4*10-3 c ; t2 = 6*10-3 c
Определим K
При t = t1
u1(1)(t1) = A+ K* t1 = 2A
K = 2A-At1 = 2*15-150,004 = 3,75* 103
Запишем ток резистора R4 для каждого интервала времени:
для интервала 0≤t≤t1:
iR4(1)(t) = A*g2 (t) + 0tu11'(τ)*g2(t- τ) dτ =
= 15 *(0,0127 - 8,59*10-6*e-546t ) +
+ 0t3,75* 103 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-x) ]dx =
= 0,19 - 1,29*10-4 *e-546t + 3,75* 103*0,0127*τ|t0 -
- 3,75* 103*8,59*10-6*e-546t *1546*e546τ|t0 =
= 0,19 + 47,5*t - 6,98*10-5*e-546t A
для интервала t1≤t≤t2:
iR4(2)(t) = A*g2(t) + 0t1u1(1)'(τ)*g2(t- τ) dτ + 0* g2(t-t1)+
+ t1t0*g2(t- τ) dτ =
= 15 *(0,0127 - 8,59*10-6*e-546t ) +
+ 0t13,75* 103 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-τ) ]dτ +
+0*[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-t1) ]+
+ t1t0 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-τ) ]dτ =
= 0,19 - 1,29*10-4 *e-546t + 3,75* 103*0,0127*τ|t10 -
- 3,75* 103*8,59*10-6*e-546t *1546*e546τ|t10 =
= 0,38 + 3,36*10-6*e-736t A
для интервала t2≤t≤∞
iR4(3)(t) = A*g2(t) + 0t1K*g2(t- τ) dτ + 0* g2(t-t1)+
+ t1t20*g2(t- τ) dτ - 2A*g2(t-t2) +t2t0*g2(t- τ) dτ =
= 15 *(0,0127 - 8,59*10-6*e-546t ) +
+ 0t13,75* 103 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-τ) ]dτ +
+0*[(0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-t1) ]
+ t1t20 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-τ) ]dτ –
-2*15*[(0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-t1) ] +
+t2е0 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546(t-τ) ]dτ
= 0,19 - 1,29*10-4 *e-546t+3,75* 103*0,0127*τ|t10 -
- 3,75* 103*8,59*10-6*e-546t *1546*e546τ|t10 –
-2*15 *[0,0127 - 8,59*10-6*e-546t-t2 ] =
= - 7,15*10-3*e-546t A
Построим временную диаграмму (см
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
