Расчет переходного процесса методом наложения (интеграл Дюамеля)

Определяем переходную проводимость g(t) для заданной цепи. Для этого рассчитываем переходный процесс классическим методом, учитывая, что на вход подано напряжение U = 1 В.
Так как до коммутации источник отключен от цепи, то i1(0-) = i2(0-) = 0 А и uC(0-) = uC (0+) = 0 В.
Принужденный ток i1пр=Ur1+r2=1r1+r2 А.
Входное сопротивление цепи
Zвхp=r1+1pCr2r2+1pC=r1+r2pCpC(r2pC+1)=r1r2pC+1+r2r2pC+1=r1r2pC+r1+r2r2pC+1.
Характеристическое уравнение r1r2pC+r1+r2=0.
Корень характеристического уравнения
p=-r1+r2r1r2C=-70+7070∙70∙30∙10-6=-952,381 с-1,
тогда свободная составляющая тока i1(t) имеет вид:
i1свt=Aept=Ae-r1+r2r1r2Ct A.
Находим полный ток i1 в момент времени t = 0+ . По второму закону Кирхгофа для внешнего контура
i10r1+uc0=U, отсюда i10=U-uc0r1=1r1 А.
Тогда свободная составляющая тока i1св(t) в момент времени t = 0+
i1св0=i10-i1пр0=1r1-1r1+r2=r2r1(r1+r2) А.
Постоянная интегрирования A=r2r1(r1+r2) А.
Тогда ток
i1t=i1прt+i1свt=1r1+r2+r2r1(r1+r2)e-r1+r2r1r2Ct=1r1+r21+r2r1e-r1+r2r1r2Ct А.
Переходная проводимость
gt=i1tU=1r1+r21+r2r1e-r1+r2r1r2Ct 1=11401+7070e-952,381t=0,0071+e-952,381t См. (1)
Находим gt-τ. Заменяем в формуле (1) t на t-τ:
gt-τ=0,007(1+e-952,381t-τ) См.
Определим u'1(τ). Для этого находим производную от заданного напряжения u1(τ) по времени t и в полученном выражении заменяем t на τ