Расчет переходного процесса методом наложения (интеграл Дюамеля)

Определяем переходную функцию h(t) для заданной цепи. Для этого рассчитываем переходный процесс операторным методом, учитывая, что на вход подано напряжение U = 1 В.
Так как до коммутации источник отключен от цепи, то uc(0-) = 0 В. Значит, получили нулевые начальные условия: uc(0-) = uc(0+) = 0 В.
Составляем операторную схему замещения (рис.3.2).
Рис.3.2 – Операторная схема замещения
Находим ток I1p
I1p=U1p-Uc(0)p1pC+r1+r2=U1∙pCp(1+pC(r1+r2))=CU11+pC(r1+r2)=N(p)M(p).
Корень знаменателя p=-1C(r1+r2) с-1.
Находим производную M'p=Cr1+r2.
По формуле разложения ток i1(t):
i1t=NpM'(p)ept=CU1Cr1+r2e-1C(r1+r2)∙t=1r1+r2e-1C(r1+r2)∙t А.
Тогда напряжение u2t=i1t∙r1=r1r1+r2e-1C(r1+r2)∙t В.
Переходная функция
ht=u2tU=r1r1+r2e-1Cr1+r2∙t 1=r1r1+r2e-1Cr1+r2∙t=2525+35e-1140∙10-6∙60∙t=
=0,417e-119,05∙t . (1)
Находим ht-τ. Заменяем в формуле (1) t на t-τ:
ht-τ=0,417e-119,05∙(t-τ).
Определим u'1(τ). Для этого находим производную от заданного напряжения u1(τ) по времени t и в полученном выражении заменяем t на τ. Постоянная времени цепи τ=t1=Cr1+r2=140∙10-625+35=8,4 мс. Тогда время t2=1,5t1=12,6 мс. Таким образом, форма входного напряжения u1(t) может быть описана следующим уравнением:
u1t=U0 при 0≤t<t1U0t2-t1t-U0∙t2t2-t1 при t1≤t<t20 при t2≤t. (2)
В первый интервал времени 0≤t<t1:
u110=U0=36 В,
u'11t=0 Вꞏс,
u'11τ=0 Вꞏс.
Во второй интервал времени t1≤t<t2:
u120=-U0∙t2t2-t1=-36∙12,6∙10-34,2∙10-3=-108 В,
u'12t=U0t2-t1=364,2∙10-3=8571,43 Вꞏс,
u'12τ=8571,43 Вꞏс.
В третий интервал времени t2≤t:
u130=0 В,
u'13t=0 Вꞏс,
u'13τ=0 Вꞏс,
Интеграл Дюамеля:
u2t=u10ht+0tu'1(τ)h(t-τ)dτ (3)
Для первого интервала времени 0≤t<t1:
u2t=u10ht+0tu'11τht-τdτ=
=36∙0,417e-119,05∙t+0t0∙0,417e-119,05∙(t-τ)dτ=15,012e-119,05∙t В.
Для второго интервала времени t1≤t<t2:
u2t=u10ht+0t1u'11τht-τdτ+u12t1-u11t1ht-t1+
+t1tu'12τht-τdτ,
где слагаемое u12t1-u11t1ht-t1 обусловлено скачком напряжения от u11t1 до u12t1 в момент времени t1