Расчет методом симметричных составляющих трехфазной симметричной цепи при несимметричной системе напряжений

1.1 Определение аналитически и графически симметричных составляющие фазных напряжений приемника.
Комплексы несимметричной системы фазных напряжений:
UA=150*ej*0°=150 В
UB=500*e-j*180°=-500 В
UC=500*ej*150°=-433,013+j*250 В
Комплексы сопротивлений:
прямой последовательности
Z1=25*ej*30°=21,651+j*12,5 Ом
обратной последовательности
Z2=5*ej*45°=3,536+j*3,536 Ом
нулевой последовательности
Z0=10*ej*30°=8,66+j*5 Ом
Систему несимметричных фазных напряжений генератора можно разложить на симметричные составляющие.
Соотношения между фазными значениями устанавливаются с помощью оператора фазового поворота:
a=ej*120°=-0,5+j*0,866
a2=e-j*120°=-0,5-j*0,866
Разложим систему несимметричных фазных напряжений генератора UA;UB;UC разложим на симметричные составляющие.
а) системы напряжений прямой последовательности UA1;UB1;UC1 (трехфазной системы, в которой напряжения равны по амплитуде, сдвинуты по фазе на 120 градусов, с прямым чередованием фаз А, В, С):
UA1=13*UA+a*UB+a2*UC
UA=150
a*UB=ej*120°*500*e-j*180°=500*e-j*60°=250-j*433,013
a*UB=500*e-j*60°=250-j*433,013
a2*UC=e-j*120°*500*ej*150°=500*ej*30°=433,013+j*250
UA1=13*150+250-j*433,013+433,013+j*250=277,671-j*61,004
UA1=277,671-j*61,004 =284,293*e-j*12,39° В
б) системы напряжений обратной последовательности UA2;UB2;UC2 (трехфазной системы, в которой напряжения равны по амплитуде, сдвинуты по фазе на 120 градусов, с обратным чередованием фаз А, С, В);
UA2=13*UA+a2*UB+a*UC
UA=150
a2*UB=e-j*120°*500*e-j*180°=500*e-j*300°=500*ej*60°
a2*UB=500*ej*60°=250+j*433,013
a*UC=ej*120°*500*ej*150°=500*ej*270°=500*e-j*90°
a*UC=500*e-j*90°=-j*500
UA2=13*150+250+j*433,013-j*500=133,333-j*22,329
UA2=133,333-j*22,329=135,19*e-j*9,51° В
в) системы напряжений нулевой последовательности UA0;UB0;UC0 (трехфазной системы, в которой напряжения равны по амплитуде и совпадают по фазе).
Напряжение нулевой последовательности:
UA0=UB0=UC0=13*UA+UB+UC
UA0=UB0=UC0=13*150-500-433,013+j*250
UA0=UB0=UC0=-261,004+j*83,333=273,985*ej*162,29° В
Проверка правильности разложения несимметричной системы напряжений UA;UB;UC на симметричные составляющие UA1;UA2;UA0:
UA=UA1+UA2+UA0
UA=277,671-j*61,004+133,333-j*22,329-261,004+j*83,333=150
UA=150 В
UB=a2*UA1+a*UA2+UA0=UB1+UB2+UB0
UB1=a2*UA1=e-j*120°*284,293*e-j*12,39°=284,293*e-j*132,39°
UB1=a2*UA1=284,293*e-j*132,39°=-191,667-j*209,968
UB2=a*UA2=ej*120°*135,19*e-j*9,51°=135,19*ej*110,49°
UB2=a*UA2=135,19*ej*110,49°=-47,329+j*126,634
UB=-191,667-j*209,968-47,329+j*126,634-261,004+j*83,333
UB=-500=500*e-j*180° В
UC=a*UA1+a2*UA2+UA0=UC1+UC2+UC0
UC1=a*UA1=ej*120°*284,293*e-j*12,39°=284,293*ej*107,61°
UC1=a*UA1=284,293*ej*107,61°=-86,004+j*270,972
UC2=a2*UA2=e-j*120°*135,19*e-j*9,51°=135,19*e-j*129,51°
UC2=a2*UA2=135,19*e-j*129,51°=-86,004-j*104,305
UC=-86,004+j*270,972-86,004+j*270,972-261,004+j*83,333
UC=-433,012+j*250=500*ej*150°
Запишем симметричные составляющие для векторной диаграммы фазных напряжений генератора:
UA=150 В
UA1=277,671-j*61,004 =284,293*e-j*12,39° В
UA2=133,333-j*22,329=135,19*e-j*9,51° В
UA0=-261,004+j*83,333=273,985*ej*162,29° В
UB=-500=500*e-j*180° В
UB1=284,293*e-j*132,39°=-191,667-j*209,968 В
UB2=135,19*ej*110,49°=-47,329+j*126,634 В
UB0=-261,004+j*83,333=273,985*ej*162,29° В
UC=-433,012+j*250=500*ej*150° В
UC1=284,293*ej*107,61°=-86,004+j*270,972 В
UC2=135,19*e-j*129,51°=-86,004-j*104,305 В
UC0=-261,004+j*83,333=273,985*ej*162,29° В
Рисунок 2 – Векторная диаграмма симметричных составляющих напряжений и заданной несимметричной системы фазных напряжений генератора
2 . Определение симметричных составляющие токов приемника.
Рисунок 3 – Схема для расчета токов симметричных составляющих и результирующих фазных и линейных токов
Фазные токи прямой последовательности:
IA1=UA1Z1
IA1=284,293*e-j*12,39°25*ej*30°=11,372*e-j*42,39°=8,399-j*7,667
IA1=11,372*e-j*42,39°=8,399-j*7,667А
IB1=UB1Z1
IB1=284,293*e-j*132,39°25*ej*30°=11,372*e-j*162,39°=-10,839-j*3,44
IB1=11,372*e-j*162,39°=-10,839-j*3,44 А
IC1=UC1Z1
IC1=284,293*ej*107,61°25*ej*30°=11,372*ej*77,61°=2,44+j*11,107
IC1=11,372*ej*77,61°=2,44+j*11,107 А
Проверка:
IA1+IB1+IC1=0
8,399-j*7,667-10,839-j*3,44+2,44+j*11,107=0
0=0
Фазные токи обратной последовательности:
IA2=UA2Z2
IA2=135,19*e-j*9,51°5*ej*45°=27,038*e-j*54,51°=15,698-j*22,014
IA2=27,038*e-j*54,51°=15,698-j*22,014 А
IB2=UB2Z2
IB2=135,19*ej*110,49°5*ej*45°=27,038*ej*65,49°=11,215+j*24,602
IB2=27,038*ej*65,49°=11,215+j*24,602 А
IC2=UC2Z2
IC2=135,19*e-j*129,51°5*ej*45°=27,038*e-j*174,51°=-26,914-j*2,588
IC2=27,038*e-j*174,51°=-26,914-j*2,588 А
Проверка:
IA2+IB2+IC2=0
15,698-j*22,014+11,215+j*24,602-26,914-j*2,588=0
-0,001≈0
Фазные токи нулевой последовательности:
UA0=UB0=UC0=-166,506+j*41,667=171,64*ej*165,95°
IA0=IB0=IC0=UA0=UB0=UC0Z0
IA0=IB0=IC0=273,985*ej*162,29°10*ej*30°=27,399*ej*132,29°=-18,437+j*20,267
IA0=IB0=IC0=27,399*ej*132,29°=-18,437+j*20,267 А
3