Расчет линейных электрических цепей синусоидального тока

1. На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи и запишем ее в дифференциальной и символической формах:
В цепи 4 узла, 5 ветвей и 3 независимых контура. Так как схема содержит 5 ветвей, то в схеме протекает 5 токов, следовательно, наша система уравнений будет содержать 5 уравнений. По первому закону Кирхгофа составляем n - 1 = n - 1 = 2 (где n - число узлов) уравнений.
Оставшиеся два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, задавшись направлением обхода контуров по часовой стрелке.
a) Дифференциальная форма:
По 1 закону Кирхгофа для узла а:
.
По 1 закону Кирхгофа для узла с:
.
По второму закону Кирхгофа для первого контура:
.
По второму закону Кирхгофа для второго контура:
.
По второму закону Кирхгофа для третьего контура:
.
Получим систему уравнений:
.
б) Комплексный, или символический, метод расчета цепей синусоидального тока позволяет заменить дифференцирование операцией умножения, а интегрирование - операцией деления. Так как
;
;
;
,
то система уравнений, составленная для мгновенных значений, приобретает вид:
.
2. Определим комплексы действующих значений токов во всех ветвях:
Т.к. в цепи действует только один источник ЭДС, то удобно решать задачу методом преобразований.
Найдем реактивные сопротивления элементов:
Ом;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом.
Найдем полные сопротивления ветвей:
Ом;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом;
Ом.
Заменим схему эквивалентной (см. рисунок 2):
Рисунок 2
Эквивалентное сопротивление 2 и 3 ветвей:
Ом.
После преобразования схема примет вид на рисунке 3.
Рисунок 3
Эквивалентное сопротивление цепи:
Ом.
Рисунок 4
По закону Ома найдем ток в неразветвленной части цепи:
А.
Для определения значений токов в параллельных ветвях между узлами а и с необходимо сначала найти значение напряжения на параллельном участке ас электрической схемы (рисунок 2).
Для этого выражается из закона Ома:
В.
Токи в параллельных ветвях:
А;
А.
По формуле разброса токов в параллельных ветвях:
А;
А.
Найдем напряжения на элементах цепи:
В - напряжение на емкостном элементе первой ветви отстает от тока на = 900;
В - напряжение на активном элементе первой ветви совпадает с направлением тока ;
В - напряжение на индуктивном элементе первой ветви опережает ток на = 900;
В - напряжение на емкостном элементе второй ветви отстает от тока на = 900;
В - напряжение на активном элементе второй ветви совпадает с направлением тока ;
В - напряжение на индуктивном элементе второй ветви опережает ток на = 900;
В - напряжение на емкостном элементе пятой ветви отстает от тока на = 900;
В - напряжение на активном элементе пятой ветви совпадает с направлением тока ;
В - напряжение на емкостном элементе четвертой ветви отстает от тока на = 900;
В - напряжение на индуктивном элементе третьей ветви опережает ток на = 900.
3. По результатам расчета в п.2 произведем проверку выполненных расчетов при помощи законов Кирхгофа:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Законы Кирхгофа выполняются.
4. Определим комплексную мощность источника питания и проверим баланс мощностей:
Баланс мощностей заключается в том, что сумма активных и реактивных мощностей, расходуемых в нагрузках, должна быть соответственно равна активной и реактивной мощностям источника питания.
ВА;
Вт; Вар.
Вт;
Вар.
Баланс мощностей сошелся.
5 . Определим показания ваттметра.
,
где и I1 - действующие значения напряжения на конденсаторе С'3 и тока в третьей ветви.
Вт.
6. Используя данные расчетов, запишем мгновенные значения токов и напряжений:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
7. Построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов:
Точку «а» располагаем в начале координат, полагая потенциал точки «а» равным нулю.
Выбираем масштабы:
по току MI = 0,1 А/см;
по напряжению MU = 1 В/см.
В качестве исходного принимаем вектор тока и откладываем его на комплексной плоскости относительно начала координат.
Откладываем в масштабе напряжение , которое отстает от тока на 900. Вектор напряжения следует сориентировать так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «а». Тогда началу этого вектора будет соответствовать точка «1» на комплексной плоскости.
Откладываем в масштабе напряжение , которое совпадает по фазе с током , и ориентируем его так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «1». Тогда началу вектора будет соответствовать точка «2» на комплексной плоскости.
Откладываем в масштабе напряжение , которое опережает ток на 900. Ориентируем его так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «2». Тогда началу этого вектора будет соответствовать точка «с» на комплексной плоскости.
Откладываем на комплексной плоскости относительно начала координат вектор тока .
Вектор, полученный соединением точки «с» с точкой «а», соответствует напряжению , под действием которого протекает ток .
Откладываем из точки «а» вектор .
Откладываем в масштабе напряжение , которое опережает ток на 900. Ориентируем его так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «d». Тогда началу этого вектора будет соответствовать точка «с» на комплексной плоскости.
Откладываем из точки «а» вектор .
Откладываем в масштабе напряжение , которое отстает от тока на 900. Вектор напряжения следует сориентировать так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «a». Тогда началу этого вектора будет соответствовать точка «d» на комплексной плоскости.
Откладываем из точки «а» вектор .
Откладываем в масштабе напряжение , которое отстает от тока на 900. Вектор напряжения следует сориентировать так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «3». Тогда началу этого вектора будет соответствовать точка «d» на комплексной плоскости.
Откладываем в масштабе напряжение , которое совпадает по фазе с током , и ориентируем его так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «a». Тогда началу вектора будет соответствовать точка «3» на комплексной плоскости.
Сумма векторов и дадут вектор по первому закону Кирхгофа.
Сумма векторов токов и определяют вектор тока по первому закону Кирхгофа.
Откладываем в масштабе напряжение , которое отстает от вектора тока на 900. Данный вектор ориентируется относительно точки «4», а конец этого вектора соответствует точке «с» на комплексной плоскости.
Откладываем в масштабе напряжение , которое совпадает по фазе с током , и ориентируем его так, чтобы конец этого вектора был направлен к точке «4»