Расчет линейной электрической цепи синусоидального тока комплексным методом

Рассчитать комплексные токи и напряжения в ветвях цепи.
Принимаем начальную фазу тока в 4-ой ветви равной нулю, комплексный ток в этой ветви равен:
I4=2ej0°=2 А
Рассчитываем эквивалентное полное комплексное сопротивление цепи. Сопротивления Z4 и Z5 соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление:
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=j20∙10+j10j20+10+j10=20ej90°∙14,142ej45°10+j30=282,843ej135°31,623ej71,565°=8,944ej63,435°=4+j8 Ом
Полученное сопротивление соединено последовательно с Z3, их эквивалентное сопротивление:
Z345=Z3+Z45=-j4+4+j8=4+j4=5,657ej45° Ом
Полученное сопротивление соединено параллельно с Z2, их эквивалентное сопротивление:
Z2345=Z2∙Z345Z2+Z345=j4∙4+j4j4+4+j4=4ej90°∙5,657ej45°4+j8=22,627ej135°8,944ej63,435°=2,53ej71,565°=0,8+j2,4 Ом
Полученное сопротивление соединено последовательно с Z1, полное комплексное сопротивление цепи:
Z=Z1+Z2345=4-j4+0,8+j2,4=4,8-j1,6=5,06e-j18,435° Ом
Комплексное напряжение на Z4 и Z5:
U45=I4Z4=2∙j20=j40=40ej90° В
Комплексный ток в 5-ой ветви:
I5=U45Z5=40ej90°14,142ej45°=2,828ej45°=2+j2 А
Комплексный ток в 3-ой ветви:
I3=I4+I5=2+2+j2=4+j2=4,472ej26,565° А
Комплексное напряжение на Z3:
U3=I3Z3=4+j2∙-j4=8-j16=17,889e-j63,435° В
Комплексное напряжение на Z2:
U2=I3Z345=4+j2∙4+j4=8+j24=25,298ej71,565° В
Комплексный ток во 2-ой ветви:
I2=U2Z2=25,298ej71,565°4ej90°=6,325e-j18,435°=6-j2 А
Комплексный ток в неразветвленной части цепи:
I1=I2+I3=6-j2+4+j2=10 А
Комплексное напряжение на Z1:
U1=I1Z1=10∙4-j4=40-j40=56,569e-j45° В
Комплексное входное напряжение:
U=I1Z=10∙4,8-j1,6=48-j16=50,596e-j18,435° В
2 . Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Проверить выполнение законов Кирхгофа.
Обозначим буквами a, b, c,... точки на исходной схеме:
Примем потенциал точки a равным нулю:
φa=0
Определим потенциалы остальных точек:
φb=φa-U=0-48-j16=-48+j16=50,596ej161,565° В
φc=φa+I2Z2=φa+U2=0+8+j24=8+j24=25,298ej71,565° В
φd=φa+I4Z4=φa+U45=0+j40=j40=40ej90° В a b c d
Строим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Масштаб: 10 Всм; 2 Асм.
Проверяем выполнение законов Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа:
для узла c:
I1-I2-I3=0
10-6-j2-4+j2=0
для узла d:
I3-I4-I5=0
4+j2-2-2+j2=0
По второму закону Кирхгофа:
для контура a-b-c-a:
-U+U1+U2=0
-48-j16+40-j40+8+j24=0
для контура a-c-d-a:
-U2+U3+U45=0
-8+j24+8-j16+j40=0
3. Найдите угол φ сдвига по фазе между напряжением на входе цепи U и током I1. Определить характер цепи (активно-индуктивный или активно-емкостный). Рассчитать параметры последовательной и параллельной схем замещения двухполюсника. Рассчитать активные и реактивные составляющие комплексных тока и напряжения на входе двухполюсника.
Определяем угол φ сдвига по фазе между напряжением на входе цепи U и током I1:
U=50,596e-j18,435° В
I1=10 А
φ=ψu-ψi1=-18,435-0=-18,435°
Вектор тока опережает вектор напряжения на 18,435°, следовательно, цепь имеет активно-емкостной характер.
Определим параметры последовательной схемы замещения двухполюсника:
Z=UI1=R-jXC=50,596e-j18,435°10=5,06e-j18,435°=4,8-j1,6 Ом
R=ReZ=Re4,8-j1,6=4,8 Ом
XC=ImZ=Im4,8-j1,6=-1,6=1,6 Ом
Определим параметры параллельной схемы замещения двухполюсника:
Y=1Z=I1U=1050,596e-j18,435°=0,198ej18,435°=0,188+j0,063 См
g=ReY=Re0,188+j0,063=0,188 См
b=ImY=Im0,188+j0,063=0,063 См
Рассчитаем активные и реактивные составляющие комплексных тока и напряжения на входе двухполюсника:
Активная составляющая входного напряжения:
Uа=U∙cosφ=50,596∙cos-18,435°=50,596∙0,949=48 В
Реактивная составляющая входного напряжения:
Uр=U∙sinφ=50,596∙sin-18,435°=50,59∙-0,316=-16 В (знак «-» означает, что реактивная составляющая имеет емкостной характер).
Комплексные активная реактивная составляющие напряжения:
Uа=Uаejψi1=48ej0°=48 В
Uр=Uрjejψi1=-16∙j∙ej0°=-j16 В
Комплексное напряжение:
U=Uа+Uр=48-j16=50,596e-j18,435° В
Активная составляющая тока:
I1а=I1∙cosφ=10∙cos-18,435°=10∙0,949=9,49 А
Реактивная составляющая тока:
I1р=I1∙sinφ=10∙sin-18,435°=10∙-0,316=-3,16 А
Комплексные активная реактивная составляющие тока:
I1а=I1аejψu=9,49e-j18,435°=9-j3 А
I1р=-jI1рejψu=j3,16e-j18,435°=3,16ej-18,435+90°=3,16ej71.565°=1+j3 А
Комплексный ток:
I1=I1а+I1р=9-j3+1+j3=10 А
4