Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

Составим систему независимых уравнений Кирхгофа для расчета токов в цепи.
Нумеруем узлы схемы. Произвольно выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров.
Рис. 2 – Схема для метода уравнений Кирхгофа
В схеме 4 узла у=4 и 6 ветвей с неизвестными токами в=6.
Необходимо составить 6 независимых уравнений.
Независимые уравнения по 1 закону Кирхгофа: Nу=у-3=1
Независимые уравнения по 2 закону Кирхгофа: Nk=в-у+1=6-4+1=3
-I3-I4-I6=0 - для узла 1I2+I4-I5=0 - для узла 2-I1-I2+I3=0 - для узла 3I2∙r2+r02+I3∙r3-I4∙r4=E2+E3 - для контура II1∙r1+r01+I2∙r2+r02-I5∙r5=E1-E2 - для контура III4∙r4+I5∙r5-I6∙r6=0 - для контура III
Подставим числовые значения в систему:
-I3-I4-I6=0 I2+I4-I5=0 -I1-I2+I3=0I2∙5,3+I3∙6-I4∙6=30I1∙4,3-I2∙5,3-I5∙3=4I4∙6+I5∙3-I6∙1=0
Расчет цепи методом контурных токов (МКТ)
Для независимых контуров отметим направления контурных токов.
Рис. 3 – Схема для метода контурных токов
I11∙r2+r02+r3+r4-I22∙r2+r02-I33∙r4=E2+E3 -I11∙r2+r02+I22∙r1+r01+r2+r02+r5-I33∙r5=E1-E2 -I11∙r4-I22∙r5+I33∙r4+r5+r6=0
Подставим значения, упростим и получим:
17,3∙I11-5,3∙I22-6∙I33=30-5,3∙I11+12,6∙I22-3∙I33=4-6,11∙I11-3∙I22+10∙I33=0
Составим матричное уравнение и решим методом Крамера:
17,3-5,3-6-5,312,6-3-6-310*I11I22I33=3040
Главный определитель:
∆=17,3-5,3-6-5,312,6-3-6-310=1098,8
Алгебраические дополнения:
∆11=30-5,3-6412,6-30-310=3794
∆22=17,330-6-5,34-3-6010=2678
∆33=17,3-5,330-5,312,64-6-30=3079,8
Определим контурные токи:
I11=∆11∆=37941098,8=3,4529 (А)
I22=∆22∆=26781098,8=2,4372 (А)
I33=∆33∆=3079,81098,8=2,8029 (А)
Используя значения контурных токов, найдем токи в ветвях цепи:
I1=I22=2,4372 (А)I2=I11-I22=3,4529-2,4372=1,0157 (А)I3=I11=3,4529(А)I4=I33-I11=2,8029-3,4529=-0,65 (А)I5=I33-I22=2,8029-2,4372=0,3657 (А)I6=-I33=-2,8029 (А)
Отрицательное значение тока указывает на то, что направление тока в ветви противоположное выбранному произвольно на начальном этапе расчета .
Проверим правильность решения, применив метод узлового напряжения.
Упростим схему, заменив треугольник сопротивлений r4, r5, r6 эквивалентной звездой.
Рис. 4 – Схема для метода узловых напряжений.
Сопротивления преобразованных ветвей имеют следующие значения:
r45=r4∙r5r4+r5+r6=6∙36+3+1=1,8 (Ом)
r46=r4∙r6r4+r5+r6=6∙16+3+1=0,6 (Ом)
r56=r5∙r6r4+r5+r6=3∙16+3+1=0,3 (Ом)
Получили частный случай метода узлового напряжения, схему с 2-мя узлами. Узел 0 заземлим: φ0=0 (В).
U30=φ3=-E1r1+r01+r56-E2r2+r02+r45+E3r3+r461r1+r01+r56+1r2+r02+r45+1r3+r46=-103,5+0,8+0,3-65+0,3+1,8+246+0,613,5+0,8+0,3+15+0,3+1,8+16+0,6=1,2111 (В)
Найдем токи в схеме рис. 4.
I1=U30+E1r1+r01+r56=1,2111+103,5+0,8+0,3=2,4372 (Ом)
I2=U30+E2r2+r02+r45=1,2111+65+0,3+1,8=1,0156 (Ом)
I3=-U30+E2r3+r46=-1,2111+246+0,6=3,4529 (Ом)
Чтобы определит остальные токи схемы (рис. 2) запишем уравнение по 2 закону Кирхгофа для контура I и определим из него ток I4:
I2∙r2+r02+I3∙r3-I4∙r4=E2+E3
I4=I2∙r2+r02+I3∙r3-E2-E3r4=1,0156∙5+0,3+3,4529∙6-6-246=-0,65 (А)
По 1 закону Кирхгофа для узла 1:
-I3-I4-I6=0→I6=-I3-I4=-3,4529-(-0,65)=-2,8029 (А)
По 1 закону Кирхгофа для узла 2:
I2+I4-I5=0→I5=I2+I4=1,0156+(-0,65)=0,3656 (А)
Значения токов, полученные при расчете методов узлов напряжений, совпадают, с учетом погрешностей расчетов, результатами, полученными при расчете методом контурных токов