Расчет электрической цепи постоянного тока

Составляем расчетную схему (рис.1.2) по варианту, учитывая, что R4=R5=0, R8=∞, E1=E8=0
Рис.1.2. Расчетная схема
В схеме три узла (1, 2, 3), пять ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из пяти уравнений для неизвестных токов и решить её. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно двум (количество узлов без единицы), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех неизвестных контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
-I1+I3-I7=0-для узла 1I1-I2-I6=0-для узла 2I1R1+I2R2+I3R3=0-для контура I-I2R2+I6R6=E6-для контура II-I3R3-I7R7=-E7-для контура III
Если решать методом контурных уравнений, то число уравнений будет равно числу независимых контуров, которых в схеме три. Соответственно, рассчитывать придется три контурных тока. Обозначим эти токи на рис.1.2 как IK1, IK2, IK3. Поэтому решаем методом контурных токов.
1.Выбираем произвольно направления токов в ветвях (рис.1.2).
2.Выбираем направления контурных токов, например, по часовой стрелке.
3.По второму закону Кирхгофа составляем N=3 уравнений.
IK1R1+R2+R3-IK2R2-IK3R3=0-IK1R2+IK2R2+R6=E6-IK1R3+IK3R3+R7=-E7
Подставляем исходные данные
IK11,2+1,8+2-1,8IK2-2IK3=0-1,8IK1+IK21,8+1=30-2IK1+IK32+1,6=-20
Упрощаем
5IK1-1,8IK2-2IK3=0-1,8IK1+2,8IK2=30-2IK1+3,6IK3=-20
Решим с применением матриц
Находим - главный определитель системы как
Собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R1+R2+R3=1,2+1,8+2=5 Ом
R22=R2+R6=1,8+1=2,8 Ом
R33=R3+R7=2+1,6=3,6 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров:
R12=R21=-R2=-1,8 Ом;
R13=R31=-R3=-2 Ом
R23=R32=0-нет смежных сопротивлений
Вычисляем
∆=5-1,8-2-1,82,80-203,6=5∙2,8∙3,6+-1,8∙0∙-2+-1,8∙0∙-2--2∙2,8∙-2--1,8∙-1,8∙3,6-0∙0∙45=50,4-0-0-11,2-11,664-0=27,536
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-1,8-2302,80-2003,6=82,4
∆2=50-2-1,8300-2-203,6=348
∆3=4,6-1,80-1,82,830-1,20-20=-107,2
Находим контурные токи
IK1=∆1∆=82,427,536=2,992 А
IK2=∆2∆=34827,536=12,638 А
IK3=∆3∆=-107,227,536=-3,893 А
4.По найденным контурным токамIK1, IK2, IK3 определяем токи в ветвях
I1=IK1=2,992 A
I2=IK1-IK2=2,992 -12,638=-9,646 A
I3=IK1-IK3=2,992--3,893=6,885 A
I6=IK2=12,638 A
I7=-IK3=--3,893=3,893 A
Ток I2 имеет отрицательное значение, т.е . его действительное направление противоположно условно принятому на рис.1.2.
5.Напряжения на элементах (сопротивлениях) цепи находим по закону Ома
U1=I1∙R1=2,992 ∙1,2=3,590 B
U2=I2∙R2=9,646∙1,8=17,363 B
U3=I3∙R3=6,885∙2=13,770 B
U6=I6∙R6=12,638∙1=12,638 B
U7=I7∙R7=3,893∙1,6=6,229 B
6.Мощности элементов
P1=I12∙R1=2,992 2∙1,2=10,742 Bт
P2=I22∙R2=9,6462∙1,8=167,482 Bт
P3=I32∙R3=6,8852∙2=94,806 Bт
P6=I62∙R6=12,6382∙1=159,719 Bт
P7=I72∙R7=3,8932∙1,6=24,249 Bт
Мощность всех приемников (потребителей) в целом
Pпотр=P1+P2+P3+P6+P7=10,742+167,482+94,806+159,719+24,249=456,998 Вт
Мощность источников
Pист=E6∙I6+E7∙I7=30∙12,638+20∙3,893=379,14+77,86=457 Вт
Режимы работы источников
E6∙I6=379,14>0 – источник E6 работает в режиме генератора (т.е. направление тока I6 совпадает с направлением действия ЭДС E6)
E7∙I7=77,86>0 – источник E7 работает в режиме генератора (т.е. направление тока I7 совпадает с направлением действия ЭДС E7)
Погрешность вычислений
∆%=Pист-PпотрPист∙100%=456,998 -457456,998 ∙100%=0,0004 %
7.Определим ток в ветви с сопротивлением R1 методом эквивалентного генератора
Находим напряжение холостого хода Uxx в ветви с сопротивлением R1. Для этого сопротивление в данной ветви исключаем и находим токи холостого хода Ixx1 и Ixx2 (рис.1.3)
Рис.1.3. Схема к определению напряжения холостого хода
Определяем токи холостого хода по закону Ома
Ixx1=E7R3+R7=202+1,6=5,556 A
Ixx2=E6R2+R6=301,8+1=10,714 A
Для контура с исключенным сопротивлением R1 записываем уравнение по второму закону Кирхгофа
Uxx-Ixx2·R2+Ixx1·R3=0, откуда
Uxx=Ixx2·R2-Ixx1·R3=10,714 ·1,8-5,556·2=8,173 В
8.Определяем входное сопротивление Rвх схемы относительно разомкнутой ветви (рис.1.4)
Рис.1.4