Расчет электрической цепи постоянного тока

1. Метод 3аконов Кирхгофа
Произвольно выбираем направления токов в цепи (рис. 1.2) и направления обхода контуров (по часовой стрелке).
Рисунок 2 – Схема цепи для расчета методом законов Кирхгофа
Дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.
Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток.
В заданной цепи шесть ветвей nветвей=6 и шесть неизвестных токов:
R1;R02→E2→R2;R3;R4;R5→E5;R6→E6
I1;I2;I3;I4;I5;I6
В заданной цепи четыре узла nузлов=4:
узел 1;узел 2;узел 3;узел 4
В заданной цепи три независимых контура nконтур=3:
Iк;IIк;IIIк
Контур Iк:
R1→R3→R4
Контур IIк:
R02→E2→R2→R05→E5→R5→R3
Контур IIIк:
R5→E5→R05→R6→E6→R4
Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа.
Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда.
Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю:
i=1nIi=0
В этом уравнении токи, направленные к узлу, принимаются положительными, а исходящие из узла отрицательными.
По первому закону Кирхгофа составляется максимально возможное число уравнений (на единицу меньше числа узлов) – nузлов-1=4-1=3:
Для узла 1:
I1+I4-I6=0
Для узла 2:
I2-I1-I3=0
Для узла 3:
I5+I6-I2=0
Для нахождения шести неизвестных токов, необходимо составить систему из шести уравнений.
Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа (общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей).
Второй закон Кирхгофа:
алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
i=1kEi=i=1mIi*Ri
ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура.
Падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.
Для контура Iк:
I3*R3+I4*R4-I1*R1=0
I3*8+I4*2-I1*5=0
Для контура IIк:
-I2*R2+R02-I5*R5+R05-I3*R3=E2-E5
-I2*2+0,8-I5*2+1,2-I3*8=15-25
-I2*2,8-I5*3,2-I3*8=-10
Для контура IIIк:
I5*R5+R05-I6*R6-I4*R4=E5-E6
I5*2+1,2-I6*6-I4*2=25-30
I5*3,2-I6*6-I4*2=-5
Получим систему уравнений:
I1+I4-I6=0I2-I1-I3=0I5+I6-I2=0I3*8+I4*2-I1*5=0-I2*2,8-I5*3,2-I3*8=-10I5*3,2-I6*6-I4*2=-5
Перепишем систему в матричном виде.
Для этого запишем уравнения упорядоченно по номерам токов, а если данного номера тока нет, запишем данный ток умноженным на нуль:
I1*1+I2*0+I3*0+I4*1+I5*0+I6*-1=0I1*-1+I2*1+I3*-1+I4*0+I5*0+I6*0=0I1*0+I2*-1+I3*0+I4*0+I5*1+I6*1=0I1*-5+I2*0+I3*8+I4*2+I5*0+I6*0=0I1*0+I2*-2,8+I3*-8+I4*0+I5*-3,2+I6*0=-10I1*0+I2*0+I3*0+I4*-2+I5*3,2+I6*-6=-5
Составим квадратную матрицу обобщенных сопротивлений Ri, матрицу-столбец неизвестных токов Ii и матрицу-столбец обобщенных ЭДС Ei (свободных членов) метода непосредственного применения законов Кирхгофа:
Ri=10010-1-11-10000-10011-5082000-2,8-80-3,20000-23,2-6, Ом
Ii=I1I2I3I4I5I6, А Ei=0000-10-5, В
Матрицу токов в системе решим с помощью метода обратной матрицы обобщенных сопротивлений в программном продукте «Mathcad Prime 5.0»:
Ii=Ri-1∙ Ei
Рисунок 3 – Моделирование работы цепи в программе «Multisim 14»
Ii=I1=0,928 АI2=1,481 АI3=0,553 АI4=0,107 АI5=0,446 АI6=1,035 А
2 . Метод контурных токов
Одним из основных методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа.
Любая сложная цепь состоит из нескольких смежных контуров, каждый из которых имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру и смежные, входящие в состав соседних контуров.
Рисунок 4 – Схема цепи для расчета методом контурных токов
Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза (независимый контур).
Число неизвестных контурных токов в методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа, т.е. числу независимых контуров.
Главное преимущество метода – это уменьшение количества уравнений до:
kуравн=nветвей-nузлов+1=6-4+1=3
kуравн=3
Для каждого контура записываем уравнение по второму закону Кирхгофа:
алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
i=1kEi=i=1mIi*Ri
В левой части каждого уравнения записываем сумму токов в ветвях, входящих в контур, умноженных на сопротивление соответствующей ветви. Суммирование происходит с учётом знака: если ток в ветви совпадает с направлением обхода контура, слагаемое записывается со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».
В правой части каждого уравнения записываем сумму ЭДС источников. Суммирование также происходит с учётом знака, в зависимости от совпадения или несовпадения направления источника с направлением контурного тока:
Для рассматриваемой трехконтурной цепи (рис. 4) система уравнений относительно контурных токов примет вид:
I11*R11+I22*R12+I33*R13=E11 для контура IкI11*R21+I22*R22+I33*R23= E22 для контура IIкI11*R31+I22*R32+I33*R33=E33 для контура IIIк
Подсчитаем значения коэффициентов системы:
собственные сопротивления контуров (собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят):
R11=R1+R3+R4=5+8+2=15
R11=15 Ом
R22=R02+R2+R5+R05+R3=0,8+2+2+1,2+8=14
R22=14 Ом
R33=R05+R5+R6+R4=1,2+2+6+2=11,2
R33=11,2 Ом
общие сопротивления контуров (общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам, взятого со знаком «+», если направление обхода контуров совпадают):
R12=R21=-R3=-8
R12=R21=-8 Ом
R13=R31=-R4=-2
R13=R31=-2 Ом
R23=R32=-R05+R5=-1,2+2=-3,2
R23=R32=-3,2 Ом
контурные ЭДС (контурная ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур; со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС):
E11=0
E22=E2-E5=15-25=-10
E22=-10 В
E33=E5-E6=25-30=-5
E33=-5 В
В полученную систему подставляем уже известные значения коэффициентов и решаем:
I11*15+I22*-8+I33*-2=0I11*-8+I22*14+I33*-3,2= -10I11*-2+I22*-3,2+I33*11,2=-5
Расчет системы производится методом Крамера при помощи определителей третьего порядка