Расчет цепей переменного тока

3 Сложить в комплексной форме систему уравнений по законам Кирхгофа.
Угловая частота:
ω=2πf=2∙π∙1050=6597,345 радс
Определяем реактивные сопротивления:
XL1=ωL1=6597,345∙30∙10-3=197,92 Ом
XL2=ωL2=6597,345∙28∙10-3=184,726 Ом
XL3=ωL3=6597,345∙20∙10-3=131,947 Ом
XL5=ωL5=6597,345∙15∙10-3=98,96 Ом
XM13=ωM13=6597,345∙4∙10-3=26,389 Ом
XM35=ωM35=6597,345∙5∙10-3=32,987 Ом
XC1=1ωC1=16597,345∙1,7∙10-6=89,162 Ом
XC3=1ωC3=16597,345∙0,5∙10-6=303,152 Ом
Полные комплексные сопротивления:
Z1=R1+jXL1-jXC1=55+j197,92-j89,162=55+j108,758=121,874ej63,174° Ом
Z2=R2+jXL2+jXL5=130+j184,726+j98,96=130+j283,686=312,054ej65,38° Ом
Z3=R3+jXL3-jXC3=85+j131,947-j303,152=85-j171,205=191,145e-j63,597° Ом
ZM13=jXM13=j26,389=26,389ej90° Ом
ZM35=jXM35=j32,987=32,987ej90° Ом
Действующие значения ЭДС в комплексной форме:
E1=E1m2=90ej30°2=63,64ej30°=55,114+j31,82 В
E3=E3m2=130e-j90°2=91,924e-j90°=-j91,924 В
Устраним индуктивную связь между обмотками, для этого преобразуем систему уравнений.
Катушки L1 и L3 подключены к узлу a одноименными зажимами. Для устранения индуктивной связи между этими катушками необходимо в ветви к Z1 и Z3 добавить -ZM13, а к Z2 добавить +ZM13.
Катушки L3 и L5 подключены к узлу a разноименными зажимами. Для устранения индуктивной связи между этими катушками необходимо в ветви к Z2 и Z3 добавить +ZM35, а к Z1 добавить -ZM35.
Составляем эквивалентную схему замещения:
Преобразуем последовательное соединенные комплексные сопротивления в эквивалентные:
Z11=Z1-ZM13-ZM35=55+j108,758-j26,389-j32,987=55+j49,382=73,916ej41,919° Ом
Z22=Z2+ZM13+ZM35=130+j283,686+j26,389+j32,987=130+j343,062=366,867ej69,246° Ом
Z33=Z3-ZM13+ZM35=85-j171,205-j26,389+j32,987=85-j164,608=185,259e-j62,689° Ом
Схема после преобразования:
Составляем систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:
I1-I2+I3=0I1Z11+I2Z22=E1I2Z22+I3Z33=E3
5.4 Рассчитать токи во всех ветвях цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа.
Подставляем в полученную систему числовые значения:
I1-I2+I3=0I155+j49,382+I2130+j343,062=55,114+j31,82I2130+j343,062+I385-j164,608=-j91,924
Решаем полученную систему в математическом пакете Mathcad матричным методом:
Таким образом получаем:
I1=-0,17+j0,474=0,504ej109,755° А
I2=0,121-j0,21=0,243e-j60.092° А
I3=0,291-j0,684=0,744e-j66,948° А
5.5 Составить систему уравнений методом контурных токов (МКТ).
Составляем систему уравнений:
IIZ11+Z22-IIIZ22=E1-IIZ22+IIIZ22+Z33=-E3
5.6 Рассчитать токи во всех ветвях цепи методом контурных токов.
Подставляем в полученную систему числовые значения:
II55+j49,382+130+j343,062-III130+j343,062=55,114+j31,82-II130+j343,062+III130+j343,062+85-j164,608=j91,924
Упрощаем систему:
II185+j392,444-III130+j343,062=55,114+j31,82-II130+j343,062+III215+j178,454=j91,924
Решаем полученную систему в математическом пакете Mathcad матричным методом:
Таким образом получаем:
II=-0,17+j0,474=0,504ej109,755° А
III=-0,291+j0,684=0,744ej113,052° А
Находим токи в ветвях:
I1=II=-0,17+j0,474=0,504ej109,755° А
I2=II-III=-0,17+j0,474--0,291+j0,684=0,121-j0,21=0,243e-j60.092° А
I3=-III=0,291-j0,684=0,744e-j66,948° А
5.7 Определить показания амперметра, вольтметра, ваттметра.
Амперметр измеряет действующее значение тока в первой ветви:
I1=0,504 А
Вольтметр измеряет действующее значение падения напряжения на нагрузке в третьей ветви:
U3=I3Z33=0,744e-j66,948°∙185,259e-j62,689°=137,753e-j129,637°=-87,875-j106,084 В
UV=137,753 В
Разность потенциалов между точками, к которым подключена обмотка напряжения ваттметра:
UW=I1R1+I2R1+jXL5+jXM13+jXM35=0,504ej109,755°∙55+0,243e-j60.092°130+j98,96+j26,389+j32,987=43,508ej24,262° В
Комплексная полная мощность:
936444-2177SW=UW-I2=43,508ej24,262°∙-0,243ej60.092°=10,556e-j95,646°=-1,039-j10,505 ВА,
откуда показания ваттметра:
PW=-1,039 Вт
5.8 Рассчитать и построить топографическую векторную диаграмму напряжений, совместив ее с векторной диаграммой токов.
Падение напряжения на нагрузке в первой ветви:
U1=I1Z11=0,504ej109,755°∙73,916ej41,919°=37,218ej151,674°=-32,762+j17,659 В
U2=I2Z22=0,243e-j60.092°∙366,867ej69,246°=89,009ej9,154°=87,875+j14,16 В
U3=I3Z33=0,744e-j66,948°∙185,259e-j62,689°=137,753e-j129,637°=-87,875-j106,084 В
Принимаем потенциал узла b равным нулю:
φb=0
Определяем остальных точек и узлов:
φb=0
φc=φb-U1=0--32,762+j17,659=32,762-j17,659=37,218e-j28,326° В
φa=φc+E1=32,762-j17,659+55,114+j31,82=87,875+j14,16=89,009ej9,154° В
φa=φb+U2=0+87,875+j14,16=87,875+j14,16=89,009ej9,154° В
φd=φb-U3=0--87,875-j106,084=87,875+j106,084=137,753ej50,363° В
φa=φd+E3=87,875+j106,084-j91,924=87,875+j14,16=89,009ej9,154° В
Строим топографическую векторную диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов