Расчет разветвленной цепи синусоидального тока

Определим действующие значения токов ветвей и в неразветвленной части цепи.
Начальная фаза напряжения составляет -30°. Тогда комплексное действующее значение напряжения на входе цепи равно:
U1=36e-j30° В
Выразим комплексные сопротивления ветвей в показательной форме:
Z1=10-j4=10,77e-j21,801° Ом
Z2=-j3=3e-j90° Ом
Z3=5+j8=9,434ej57,995° Ом
Сопротивление на участке цепи с параллельным соединением сопротивлений Z2 и Z3:
Z23=Z2∙Z3Z2+Z3=3e-j90°∙9,434ej57,995°-j3+5+j8=28,302e-j32,005°5+j5=28,302e-j32,005°7,071ej45°=4,002e-j77,005°=0,9-j3,9 Ом
Эквивалентное сопротивление цепи:Zэ=Z1+Z23=10-j4+0,9-j3,9=10,9-j7,9=13,462e-j35,933° Ом
Определим токи ветвей, используя правила преобразования цепи.
I1=U1Zэ=36e-j30°13,462e-j35,933°=2,674ej5,933° А
U2=I1∙Z23=2,674ej5,933°∙4,002e-j77,005°=10,704e-j71,072° В
I2=U2Z2=10,704e-j71,072°3e-j90°=3,568ej18,928° А
I3=U2Z3=10,704e-j71,072°9,434ej57,995°=1,135e-j129,067° А
Действующие значения токов ветвей:
I1=2,674 А; I2=3,568 А; I3=1,135 А.
Определим активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.
Активная (P), реактивная (Q) и полная (S) мощности, потребляемые цепью, определяются из выражений:
P=U1I1cosφ
Q=U1I1sinφ
S=U1I1
U1, I1 ‒ действующие значения напряжения и тока на входе цепи, соответственно;
φ=ψu-ψi ‒ сдвиг фаз между напряжением и током на входе цепи.
U1=36 В; I1=2,674 А
φ=-30°-5,933°=-35,933°
Рассчитываем мощности:
P=36∙2,674∙cos-35,933°=77,952 Вт
Q=36∙2,674∙sin-35,933°=-56,497 вар
S=36∙2,674=96,272 ВА
Запишем выражения для мгновенных значений токов в ветвях . Частота цепи:
Запишем выражения для мгновенных значений токов в ветвях.
Мгновенные значения токов представляют собой синусоидальные функции вида it=Imsinωt+ψi, где Im=2∙I – амплитуда соответствующего тока, ω=2πf=2π∙50=314 радс ‒ частота цепи, ψi ‒ начальная фаза соответствующего тока.
Тогда мгновенные значения токов имеют вид:i1t=Im1sinωt+ψi1=2∙2,674sin314t+5,933°=3,782sin314t+5,933° А
i2t=Im2sinωt+ψi2=2∙3,568sin314t+18,928°=5,046sin314t+18,928° А
i3t=Im3sinωt+ψi3=2∙1,135sin314t-129,067°=1,605sin314t-129,067° А
Составим схему замещения электрической цепи в соответствии с полными комплексными сопротивлениями Z1, Z2, Z3, изобразив идеальные элементы (резистивный, индуктивный, емкостной), составляющие полное сопротивление ветви.
По выражению полных комплексных сопротивлений ветвей Z1, Z2, Z3, определяем, что первая ветвь (неразветвленная часть цепи) с сопротивлением Z1=10-j4 Ом включает в себя резистивный и емкостной элементы, вторая ветвь цепи (в разветвленной части) с сопротивлением Z2=-j3 Ом включает в себя только емкостной элемент, и третья ветвь (также в разветвленной части цепи) с сопротивлением Z3=5+j8 Ом включает в себя резистивный и индуктивный элементы