Расчет разветвленной цепи синусоидального тока

Определим действующие значения токов ветвей и в неразветвленной части цепи.
Начальная фаза напряжения составляет -75º. Тогда комплексное действующее значение напряжения на входе цепи равно:
U1=24e-j75° В
Выразим комплексные сопротивления ветвей в показательной форме:
Z1=6-j8=10e-j53,13° Ом
Z2=12+j16=20ej53,13° Ом
Z3=-j10=10e-j90° Ом
Сопротивление на участке цепи с параллельным соединением сопротивлений Z2 и Z3:
Z23=Z2∙Z3Z2+Z3=20ej53,13°∙10e-j90°12+j16-j10=200e-j36,87°12+j6=200e-j36,87°13,416ej26,565°=14,907e-j63,435°=6,667-j13,333 Ом
Эквивалентное сопротивление цепи:Zэ=Z1+Z23=6-j8+6,667-j13,333=12,667-j21,333=24,81e-j59,3° Ом
Определим токи ветвей, используя правила преобразования цепи.
I1=U1Zэ=24e-j75°24,81e-j59,3°=0,967e-j15,7° А
U2=I1∙Z23=0,967e-j15,7°∙14,907e-j63,435°=14,42e-j79,135° В
I2=U2Z2=14,42e-j79,135°20ej53,13°=0,721e-j132,265° А
I3=U2Z3=14,42e-j79,135°10e-j90°=1,442ej10,865° А
Действующие значения токов ветвей:
I1=0,967 А; I2=0,721 А; I3=1,442 А.
Определим активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.
Активная (P), реактивная (Q) и полная (S) мощности, потребляемые цепью, определяются из выражений:
P=U1I1cosφ
Q=U1I1sinφ
S=U1I1
U1, I1 ‒ действующие значения напряжения и тока на входе цепи, соответственно;
φ=ψu-ψi ‒ сдвиг фаз между напряжением и током на входе цепи.
U1=24 В; I1=0,967 А
φ=-75°--15,7°=-59,3°
Рассчитываем мощности:
P=24∙0,967∙cos-59,3°=11,853 Вт
Q=24∙0,967∙sin-59,3°=-19,962 вар
S=24∙0,967=23,216 ВА
Запишем выражения для мгновенных значений токов в ветвях . Частота цепи:
Запишем выражения для мгновенных значений токов в ветвях.
Мгновенные значения токов представляют собой синусоидальные функции вида it=Imsinωt+ψi, где Im=2∙I – амплитуда соответствующего тока, ω=2πf=2π∙50=314 радс ‒ частота цепи, ψi ‒ начальная фаза соответствующего тока.
Тогда мгновенные значения токов имеют вид:i1t=Im1sinωt+ψi1=2∙0,967sin314t-15,7°=1,368sin314t-15,7° А
i2t=Im2sinωt+ψi2=2∙0,721sin314t-132,265°=1,02sin314t-132,265° А
i3t=Im3sinωt+ψi3=2∙1,442sin314t+10,865°=2,039sin314t+10,865° А
Составим схему замещения электрической цепи в соответствии с полными комплексными сопротивлениями Z1, Z2, Z3, изобразив идеальные элементы (резистивный, индуктивный, емкостной), составляющие полное сопротивление ветви.
По выражению полных комплексных сопротивлений ветвей Z1, Z2, Z3, определяем, что первая ветвь (неразветвленная часть цепи) с сопротивлением Z1=6-j8 Ом включает в себя резистивный и емкостной элементы, вторая ветвь цепи (в разветвленной части) с сопротивлением Z2=12+j16 включает в себя резистивный и индуктивный элементы, и третья ветвь (также в разветвленной части цепи) с сопротивлением Z3=-j10 Ом включает в себя только емкостной элемент