Расчет разветвленной цепи постоянного тока

Обозначим на схеме узлы и условно-положительные направления токов (рис.1.2):
Рис.1.2. Расчетная схема
Схема содержит У=4 узлов (1 и 2) и В=6 ветвей. Таким образом, по первому закону Кирхгофа необходимо составить У-1=3 уравнений, по второму К=В-У+1=6-3+1=3 уравнений для контуров I, II, и III. В соответствии с выбранными на схеме положительными направлениями токов, составляем систему уравнений:
I3+I4-I6=0-для узла 1-I1+I2-I4=0-для узла 2I1-I5+I6=0-для узла 3I1R1-I6R6-I4R4=-E4-для контура II3R3+I6R6+I5R5=E3+E5-для контура II-I2R2-I5R5-I1R1=-E2-E5-для контура III
Определяем токи методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.1.3), направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Рис.1.3. Расчетная схема к методу контурных токов
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов заданной цепи имеет вид:
I11R1+R4+R6-I22R6-I33R1=-E4-I11R6+I22R3+R5+R6-I33R5=E3+E5-I11R1-I22R5+I33R1+R2+R5=-E2-E5
После подстановки исходных данных имеем
I1118+12+9-9I22-18I33=-50-9I11+I2220+15+9-15I33=120+75-18I11-15I22+I3318+6+15=-80-75
Упрощаем
39I11-9I22-18I33=-50-9I11+44I22-15I33=195-18I11-15I22+39I33=-155
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Находим
∆=39-9-18-944-15-18-1539=39∙44∙39+-9∙-15∙-18+-9∙-15∙-18--18∙44∙-18--9∙-9∙39--15∙-15∙39=66924-2430-2430-14256-3159-8775=35874
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=-50-9-1819544-15-155-1539=-97140
∆2=39-50-18-9195-15-18-15539=86580
∆3=39-9-50-944195-18-15-155=-154110
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-9714035874=-2,708 А
I22=∆2∆=8658035874=2,413 А
I33=∆3∆=-15411035874=-4,296 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I11-I33=-2,708--4,296=1,558 A
I2=-I33=4,296 A
I3=I22=2,413 A
I4=-I11=2,708 A
I5=I22-I33=2,413--4,296=6,709 A
I6=I22-I11=2,413-(-2,708)=5,121 A
Проверяем правильность решения по второму закону Кирхгофа по двум контурам
для контура I
I1R1-I6R6-I4R4=-E4
1,558∙18-5,121∙9-2,708∙12=-50
28,044-46,089-32,496=-50
-50,541≈-50-верно
для контура II
I3R3+I6R6+I5R5=E3+E5
2,413·20+5,121·9+6,709∙15=120+75
48,26+46,089+100,635=195
194,984≈195-верно
Составляем баланс мощностей
суммарная активная мощность источников
Pист=E2I2+E3I3+E4I4+E5I5=80∙4,296+120∙2,413+50∙2,708+75·6,709=1271,815 Вт
суммарная мощность приемников
Pпр=I12∙R1+I22∙R2+I32∙R3+I42∙R4+I52∙R5+I62∙R6
Pпр=1,5582∙18+4,2962∙6+2,4132∙20+2,7082∙12+6,7092∙15+5,1212∙9=1270,059 Вт
Получили, что
Pист≈Pпр, т.е.1271,815 Вт≈1270,059 Вт
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных вычислений баланс выполняется.
Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура (рис.1.4)
Рис.1.4