Расчет переходного процесса при действии источника синусоидальной ЭДС классическим методом.
Рис.2.1.Схема задания
Дано:
R0 = 145 Ом
R1 = 33 Ома
R2 = 115 Ома
L = 93 мГн
C = 4,9 мкФ
f= 70 Гц
Em = 204 B
φe = 36 ̊
e(t)= Em*sin(ωt+φe)
Найти:
iL(t)
Решение
Согласно классическому методу решение ищем в виде
iL(t)= iLвын(t) + iLсвоб(t)
Определим независимые начальные условия uc(0) и iL(0)
Схема до коммутации
Рис.2.2.Докоммутационная схема
Используем метод комплексных амплитуд
Выразим ЭДС в комплексной форме
Em = Em ejфe = 204ej36˚ = 165 +j119,9 B
Мгновенное значение
e(t)= 204*sin(ωt+36 ̊ ) B
Определим реактивные сопротивления элементов
Угловая частота
ω= 2π*f = 2*π*70= 439,8 c-1
XL = ω *L = 439,8 *93*10-3 = 40,9 Ом
XC = 1ω*C = 1 439,8 *4,9*10-6 = 464 Ом
Определим UCm методом 2-х узлов
UCm = Em*1R21R1+jXL+1-jXC+1R2 =(165 +j119,9 )*1115133+j40,9+1-j464+1115 = 28+j67,7 = 73,3ej67,5˚ B
ILm = UCmR1+jXL = 28+j67,7 33+j40,9 = 1,337 +j0,394 = 1,394ej16,4˚ A
Мгновенные значения
uC(t) = 73,3*sin(ωt+67,5 ̊) B
iL(t) = 1,394*sin(ωt+16,4 ̊) A
При t = 0-
uC(0-) = 73,3*sin(ω*0+67,5 ̊) = 67,69 B
iL(0-) = 1,394*sin(ω*0+16,4 ̊) = 0,394 A
Согласно законам коммутации
uc(0) = uc(0-) = 67,69 B
iL(0) = iL(0-) = 0,394 A
Определим принужденное значение iL
Рис2.3
. Схема установившегося режима
ILm= EmR0+R2+R1+jXL*(-jXC)R1+jXL-jXC*-jXCR1+jXL-jXC =165 +j119,9145+115+33+j40,9*(-j464)33+j40,9-j464 *-j46433+j40,9-j464 = 0,676+j0,295 =
= 0,738ej23,6˚ A
Мгновенное значение
iLприн(t) =0,738*sin(ωt+23,6 ̊) A
Определим зависимое начальное условие diLtdt(0)
Рис.2.4.Схема в 1-й момент после коммутации
Согласно 2-му закону Кирхгофа
iL(0)* R1 + uL(t)= uc(t)
uL(0)= uc(0) -iL(0)* R1 = 67,69 – 0,394*33 = 54,7 B
Согласно уравнению связи
uL(t) = L*diL(t)dt
diL(t)dt (0) = uL(0) L = 54,7 0,093 = 588,2 A/c
Составим характеристическое уравнение
Заменим источник внутренним сопротивлением (R = 0) , выполним разрыв в образовавшейся схеме и определим операторное сопротивление цепи после коммутации относительно разрыва
Рис.2.5.Схема определения характеристического уравнения
Z(p) = R1+Lp+(R0+R2)*1Cp R0+R2+ 1Cp = (R0+R2)LCp2+R0R1+R1R2C+Lp+R0+R1+R2R0+R2Cp+1
Приравняем 0 числитель
(R0+R2)LCp2+R0R1+R1R2C+Lp+R0+R1+R2=0
p2 +1140p+2,473*106 = 0
p1,2 = - 11402 ± (- 11402 )2-2,473*106
p1 = - 570 + j1466 c-1
p2 = - 570 - j1466 c-1
Корни уравнения комплексно - сопряжённые
Общее решение для свободной составляющей имеет вид
iLсвоб(t) = Ae-σt *sin(ω0*t+𝜓),
где σ = 570 c-1 – коффициент затухания
ω0 = 1466 c-1 - частота собственных колебаний
Определим ток iL(t)
Запишем уравнения для iL(t) и diLtdt
iL(t) = iLприн(t) + Ae-σt *sin(ω0*t+𝜓)
diL(t) dt = diLприн(t) dt-σAe-σt *sin(ω0*t+ψ) + ω0Ae-σt *cos(ω0*t+ψ)
iL(t)= 0,738*sin(ωt+23,6 ̊) + Ae-570 t *sin(1466*t+ψ)
diLtdt =439,8* 0,738*cosωt+23,6 ̊-570*A*e-570 t *sin(1466*t+ψ) +
+ 1466*A*e-570 t *cos(1466*t+ψ)
При t = 0
0,394 = 0,295+ A sin(ψ)
588,2 = 297,3 – 570*Asin(ψ) + 1466*A*cos(ψ)
0,099 = A sin(ψ)
290,9= – 570*Asin(ψ) + 1466*A*cos(ψ)
Разделим 2-е уравнение на 1-е
2938 = -570 + 1466*ctg(ψ)
ψ = arcctg(2938 +5701466 ) = 22,6 ̊
Из 1-го уравнения
A = 0,099 sin(22,6 ̊) = 0,256 A
iL(t) = 0,738*sin(ωt+23,6 ̊)+0,256*e-570 t *sin(1466*t + 22,6 ̊ ) A
Рис.2.6.График зависимости iL(t)
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
