Расчет неразветвленной цепи синусоидального тока

В соответствии с постановкой задачи определим показания приборов. Амперметр A покажет действующее значение тока цепи I. Вольтметр V покажет действующее значение напряжения на участке цепи с последовательным соединением R2, C2. Ваттметр W покажет значение активной мощности P, потребляемой цепью. Для расчета изобразим схему цепи, исключив из нее приборы:
Действующее значение напряжения на входе цепи:
U=Um2=5352=378,302 В
Полное сопротивление цепи:Z=R1+R22+-XC1-XC22=5+102+-15-112=30,017 Ом
Действующее значение тока:
I=UZ=378,30230,017=12,603 А
Полное сопротивление участка R2, C2:
Z2=R22+-XC22=102+-112=14,866 Ом
Действующее значение напряжения на участке R2, C2:
U2=I∙Z2=12,603∙14,866=187,358 В
Сдвиг фаз между напряжением и током на входе цепи:
φ=arctg-XC1-XC2R1+R2=arctg-15-115+10=-60,018°
Мощность, потребляемая цепью:
P=U∙I∙cosφ=378,302∙12,603∙cos-60,018°=2382,561 Вт
Определим закон изменения тока в цепи.
Ток в цепи изменяется по синусоидальному закону:
it=Imsinωt+ψi
Амплитуда тока:
Im=2∙I=2∙12,603=17,823 А
Начальную фазу тока ψi определим из соотношения:ψi=ψu-φ
ψi=30°--60,018°=90,018°
Закон изменения тока:
it=17,823sinωt+90,018° А
Определим закон изменения напряжения между точками, к которым подключён вольтметр V . Для этого посчитаем действующее значения напряжения U2. Именно это значение покажет вольтметр V.
Мгновенное значение напряжения u2 имеет вид:
u2t=Um2sinωt+ψu2
Амплитуда напряжения U2:
Um2=2∙U2=2∙187,358=264,964 В
Сдвиг фаз между напряжением U2 и током на входе цепи:
φ2=arctg-XC2R2=arctg-1110=-47,726°
Начальную фазу напряжения ψu2 определим из соотношения:ψu2=ψi+φ2
ψu2=90,018°-47,726°=42,292°
Закон изменения напряжения u2:
u2t=264,964sinωt+42,292° В
Определим активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.
Полная комплексная мощность:
S=U∙I*
где U=U∙ejψu − комплексное действующее значение напряжения на входе цепи, I* сопряженное действующее значение тока (I*=I∙e-jψi).
U=378,302ej30° В
I*=12,603e-j90,018°
S=378,302ej30°∙12,603e-j90,018°=4767,769e-j60,018°=4767,769cos-60,018°+jsin-60,018°=2382,561-j4129,772 ВА
Отсюда:
активная мощность:
P=2382,561 Вт
реактивная мощность:
Q=-4129,772 Вар
полная мощность:
S=4767,769 ВА
Для построения векторной диаграммы выразим напряжения на всех
элементах цепи:
UR1=I∙R1=12,603∙5=63,015 В
UC1=I∙XC1=12,603∙15=189,046 В
UR2=I∙R2=12,603∙10=126,03 В
UC2=I∙XC2=12,603∙11=138,634 В
При построении диаграммы учитывается:
а) напряжение, приложенное к цепи, имеет начальную фазу 30°;
б) напряжение и ток в резистивном элементе совпадают по фазе;
в) напряжение на емкостных элементах отстает от тока на 90°;
г) масштабы для векторов напряжений и токов должны быть различными, так как единицами измерения напряжения является Вольт (В), а тока Ампер (А)