Расчет цепи переменного тока, содержащей катушку с ферромагнитным сердечником
Электрическая цепь (рис. 3) содержит катушку с ферромагнитным сердечником. Кривая намагничивания сердечника для положительных значений индукции и напряженности магнитного поля задана в виде таблицы (табл. 2). При этом пренебрегают явлениями гистерезиса и не учитывают вихревые токи, не учитываются явления рассеивания. Предполагается также, что индукция в сердечнике изменяется по синусоидальному закону.
Таблица 2 – Кривая намагничивания
В, Тл 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,6 1,7 1,75
Н, А/м 100 120 140 160 200 250 350 500 700 1000 1800 2500 3000
Параметры элементов схемы, максимальная величина магнитной индукции Вm, длина l средней магнитной линии и поперечное сечение S сердечника для различных вариантов (исходные данные) приведены в табл. 4. Значения индуктивного XL, и емкостного ХC сопротивлений соответствуют частоте f, указанной в этой же таблице.
Аппроксимирующее выражение кривой намагничивания:
Н = а∙ В3 (1)
В задаче требуется:
1. Найти коэффициент «а» аппроксимирующего выражения, используя метод наименьших квадратов. Построить в одной и той же системе декартовых координат кривые намагничивания по полученному аппроксимирующему выражению и заданную табл. 12.
2. При этом построение выполнить как для положительных, так и для отрицательных значений В и Н. Качественно сопоставить построенные кривые.
3. В одной и той же системе декартовых координат построить кривые изменения тока источника энергии i и приложенного к цепи напряжения u источника энергии от времени, т.е. кривые мгновенных значений тока и напряжения источника: i = i (t) и u = u (t) .
4. Определить показания приборов, считая, что вольтметр и амперметр имеют электромагнитное измерительное устройство, а ваттметр – электродинамическое.
Исходные данные
Номер строки r,
Ом XL,
Ом XC,
Ом Число
витков, W l,
см S,
см2
f,
Гц Bm,
Тл
9 35 60 80 1300 95 2,5 80 1,55
14916721018500
А С
В
Рис. 3
Решение
Аппроксимируем функцию H=f(B) в виде выражения H = αB3
Методом наименьших квадратов найдём значения α.
Для этого найдём минимум функцию Q = Σ Vi2 , где Vi = Hi – f(Bi)ult
Заполним таблицу в Exe
В графы 2 и 3 таблицы заносим табличные значения Н и В из кривой намагничивания. В графу 4 заносим значение Н3.Разн
В графы 5 заносим значение Н2, в графу 6 - (2αBn3)2/α2,, в графу 7 - (α В3)2/а2
Все строки суммируем и получаем функцию Σ Vi2 ,
Σ Vi2 , = 20524600 – 86654,42α + 34,0122α2
Исследуя полученную функцию Q(α) на минимум, получим:
α = 460,857.
Точки Hтабл, Втабл
Вт3 Нт2
(2αBn3)2/α2 (α В3)2/а2
1 2 3 4 5 6 7
1 100,0 0,5 0,1250 10000 -25,00 0,0156
2 120,0 0,6 0,2160 14400 -51,84 0,0467
3 140,0 0,7 0,3430 19600 -96,04 0,1176
4 160,0 0,8 0,5120 25600 -163,84 0,2621
5 200,0 0,9 0,7290 40000 -291,60 0,5314
6 250,0 1,0 1,0000 62500 -500,00 1,0000
7 350,0 1,1 1,3310 122500 -931,70 1,7716
8 500,0 1,2 1,7280 250000 -1728,00 2,9860
9 700,0 1,3 2,1970 490000 -3075,80 4,8268
10 1000,0 1,4 2,7440 1000000 -5488,00 7,5295
11 1800,0 1,6 4,0960 3240000 -14745,60 16,7772
12 2500,0 1,7 4,9130 6250000 -24565,00 24,1376
13 3000 9000000 34992,00 9000000 -34992,00 34,0122
14 Сумма
20524600 -86654,42 94,0144
Таким образом аппроксимирующая функция запишется в виде:
Н = 460,857В3 (1)
Строим кривые зависимости Н = f(B) по табличным значениям кривой намагничивания и по выражению (1)
. Кривые построены на рис. 4
На диаграмме синяя линия показывает зависимость Н = f(B), построенную по табличным данным, а красная линия – по аппроксимированной функции Н = 460,857В3. Из диаграммы видно что обе кривые примерно совпадают.
Рис. 4
Определяем ток в катушке с ферромагнитным сердечником
Максимальное значение магнитного потока в сердечнике магнитопровода
Фm = Bm S = 1,55*0.00025 = 0,000388 Вб
Напряжение на зажимах катушки:
uk = W*dФ/dt = W*d/dt(Фm sin (ωt))= WФmω ωs ωt =
Так как ω = 2 πf =2*π*80 = 502,4 рад/c, то
uk = WФmω ωs ωt = WФmω sin(ωt + 90º) = 1300*0.000388*502,4 sin(ωt + 90º)
Ukm = 1300*0.000388*502,4=253,1 В
Комплекс напряжения на катушке
Ů k= 253,1ej90º = 253,1j B
Находим ток в катушке
По закону полного тока iW=Hl. Отсюда
iк=Hl/W, так как Н = 460,857В3 , тоiк= 460,857В3l/W = 460,857* (Bm sin (ωt))3l/W = 460,857* (1.556 sin (ωt))3l/1300 iк = 1.32 sin3(ωt)) Величину sin3(ωt)) разлагаем в ряд Фурье по 1 и 3 гармонике: sin3(ωt)) = 0,75 sin(ωt) – 0,25 sin(3ωt))), тогдаiк= 1.32*(0,75 sin(ωt) – 0,25 sin(3ωt))) = 0,99 sin(502,4t) + 0,33 sin(1507t+180º)
Комплексы тока:
для первой гармоники İ К(1) = 0,99 ej0º А
для третьей гармоники İ К(3) = 0,33 ej180º А
iк= i(t)= 0,99 sin(502,4t) + 0,33 sin(1507t+180º) АДействующие значения тока
I(1) = I(1)m/= 0,99/1.414= 0.7 А
I(2) = I(1)m/= 0.33/1.414= 0.233 А
i = I(1)2+I(3)2= 0,72+0,2332=0,738A
Определяем напряжение на зажимах цепи
Напряжение на зажимах цепи находим методом наложения отдельно по каждой гармонике..
Определим сопротивление участка цепи АС ZAC для каждой из гармоник
Для первой гармоники ZL(1) = 60j
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
