Работа динамической системы описывается уравнением

Предварительно найдем спектральную плотность процесса ξt по формуле:
sxω=1π0∞kxτcosωτdτ
Т.к. τ=τ при τ≥0 то:
sξω=3π0∞e-τcosωτdτ+9π0∞e-2τcosωτdτ
Имеем:
0∞e-τcosωτdτ=e-τωsinωτ-cosωτ12+ω20∞=
=11+ω2limM→∞e-MωsinωM-cosωM=0+1=11+ω2
Аналогично:
0∞e-2τcosωτdτ=24+ω2
Т.е.:
sξω=3π1+ω2+9π4+ω2
Находим передаточную функцию системы, записывая дифференциальное уравнение в операторной форме:pξ+ξ=pη+5η
Имеем:
η=p+1p+5ξ
Таким образом, передаточная функция системы:
Wp=p+1p+5
Далее получаем частотную характеристику системы p=ωi:
Wωi=ωi+1ωi+5
И находим спектральную плотность на выходе системы:
sηω=sξω∙Wωi2=3π1+ω2+9π4+ω2∙ωi+12ωi+52=
=3π1+ω2+9π4+ω2∙1+ω225+ω2=3π25+ω2+91+ω2π4+ω225+ω2
Находим дисперсию на выходе системы:
Dη=-∞∞sηωdω=3π-∞∞dω25+ω2+9π-∞∞1+ω24+ω225+ω2dω
Подынтегральное выражение во втором интеграле представляем суммой дробей вида:
A4+ω2+B25+ω2=A25+ω2+B4+ω24+ω225+ω2=(A+B)ω2+25A+4B4+ω225+ω2
Числитель должен равняться 16+ω2, приравниваем коэффициенты:
A+B=125A+4B=1 A=-17B=87
Тогда:
Dη=3π-∞∞dω25+ω2+97π-∞∞-14+ω2+825+ω2dω=
=35πlimM→∞arctgω5-MM-914πlimM→∞arctgω2-MM+7235πlimM→∞arctgω5-MM=
=35π∙π-914π∙π+7235π∙π=14170≈2,01