Пусть функция задается таблично в 5 равноотстоящих точках отрезка

Зададим функцию таблично в 5 равноотстоящих точках отрезка , включая его границы
xi yi
0,35 0,939
0,4 0,921
0,45 0,900
0,5 0,878
0,55 0,853
Аппроксимируем заданную таблично функцию многочленом второй степени вида , используя метод наименьших квадратов.
Система уравнений для нахождения a, b и c имеет вид:
Для нахождения коэффициентов и свободных членов системы заполним следующую таблицу:
i xi yi xiyi xi2 xi3 xi4 xi2yi
0 0,35 0,939 0,329 0,123 0,043 0,015 0,115
1 0,4 0,921 0,368 0,160 0,064 0,026 0,147
2 0,45 0,900 0,405 0,203 0,091 0,041 0,182
3 0,5 0,878 0,439 0,250 0,125 0,063 0,220
4 0,55 0,853 0,469 0,303 0,166 0,092 0,258
∑ 2,250 4,491 2,010 1,038 0,489 0,236 0,922
Получаем следующую систему:
Откуда , ,
Следовательно искомая аппроксимирующая функция
.
Из всех квадратичных она лучше всего приближает исходные данные по методу наименьших квадратов.
Вычислим среднеквадратичную погрешность.
Вычисления сведем в таблицу:
i xi yi F2(xi) (yi-F2(xi)) 2
0 0,35 0,939 0,9391 0,000000003
1 0,4 0,921 0,9208 0,000000052
2 0,45 0,900 0,9003 0,000000118
3 0,5 0,878 0,8778 0,000000052
4 0,55 0,853 0,8531 0,000000003
∑ 2,250 4,491 4,491 0,000000229
Рис