Пусть необходимо выпускать обычных плит – х1, улучшенных плит – х2, тогда ограничения
по материалам:20x1+40x2≤4000,по времени на прессование:4x1+6x2≤900,по времени на отделку:4x1+4x2≤600,по средствам:30x1+50x2≤6000,
по неотрицательности переменных:x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
по целочисленности переменных:
х1 – целое,
х2 – целое.
Прибыль определяется как F=6x1+8x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F = 6x1+8x2 → max
20x1+40x2≤4000,4x1+6x2≤900,4x1+4x2≤600,30x1+50x2≤6000,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,
х1 – целое,
х2 – целое.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 6x1+8x2 при системе ограничений:
20x1+40x2≤4000, (1)4x1+6x2≤900, (2)4x1+4x2≤600, (3)30x1+50x2≤6000, (4)x1 ≥ 0, (5)x2 ≥ 0, (6)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
Построим уравнение 20x1+40x2 = 4000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 100. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 200. Соединяем точку (0;100) с (200;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:20 ∙ 0 + 40 ∙ 0 - 4000 ≤ 0, т.е. 20x1+40x2 - 4000≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 4x1+6x2 = 900 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 150. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 225. Соединяем точку (0;150) с (225;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:4 ∙ 0 + 6 ∙ 0 - 900 ≤ 0, т.е. 4x1+6x2 - 900≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 4x1+4x2 = 600 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 150. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 150. Соединяем точку (0;150) с (150;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:4 ∙ 0 + 4 ∙ 0 - 600 ≤ 0, т.е. 4x1+4x2 - 600≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 30x1+50x2 = 6000 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 120. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 200. Соединяем точку (0;120) с (200;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:30 ∙ 0 + 50 ∙ 0 - 6000 ≤ 0, т.е. 30x1+50x2 - 6000≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 6x1+8x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 6x1+8x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (6;8). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
20x1+40x2=40004x1+4x2=600
Решив систему уравнений, получим: x1 = 100, x2 = 50.
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(x) = 6∙100 + 8∙50 = 1000.
Таким образом, для получения максимальной прибыли 1000 у.е. необходимо выпускать обычных плит – 100, улучшенных плит – 50.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Пусть необходимо взять продуктов А – х1, продуктов В – х2, тогда ограничения
по жиру:15x1+4x2≤14,
по калориям:150x1+200x2≥300,
по неотрицательности переменных:x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Стоимость диеты определяется как F=15x1+20x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель задачи имеет вид:
F = 15x1+20x2 → min
15x1+4x2≤14,150x1+200x2≥300,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 15x1+20x2 при системе ограничений:
15x1+4x2≤14, (1)150x1+200x2≥300, (2)x1 ≥ 0, (3)x2 ≥ 0, (4)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.
Построим уравнение 15x1+4x2 = 14 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0
. Находим x2 = 3.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 0.93. Соединяем точку (0;3.5) с (0.93;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:15 ∙ 0 + 4 ∙ 0 - 14 ≤ 0, т.е. 15x1+4x2 - 14≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 150x1+200x2 = 300 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 2. Соединяем точку (0;1.5) с (2;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:150 ∙ 0 + 200 ∙ 0 - 300 ≤ 0, т.е. 150x1+200x2 - 300≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 15x1+20x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 15x1+20x2 = 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
