Прямая и плоскость. Даны координаты вершин треугольника АВС

Сначала изобразим треугольник АВС на координатной плоскости:
1) Длину стороны АВ находим по формуле длины отрезка:
AB=x2-x12+y2-y12=15-32+-3-62=122+-92=
=144+81=225=15.
2) Величину угла А находим, используя формулу:
tgA=k2-k11+k1∙k2, где k2=yB-yAxB-xA=-3-615-3=-912=-34,
k1=yC-yAxC-xA=11-613-3=510=12.
tgA=-34-121+12∙-34=-5458=54∙85=2 ⇒ ∠A=arctg2.
3) Уравнение высоты СD.
Угловой коэффициент AB: kAB=k2=-34 ⇒ угловой коэффициент высоты СD находим из условия перпендикулярности: kCD∙kAB=-1 ⇒ kCD=-1kAB, kCD=-1- 34=43 ⇒ kCD=43 .
y-y0=k∙x-x0 - уравнение прямой.
В нашем случае k=kCD, x0;y0 - координаты точки С. Получаем:
y-11=43∙x-13;
y-11=43x-523 ;
43x-y+11-523=0;
43x-y-193=0;
4x-3y-19=0 - уравнение высоты CD.
4) Уравнение медианы СЕ.
CE — медиана ⇒ координаты точки ExA+xB2; yA+yB2 — середина АВ.
E3+152;6+(-3)2⇒E9;1,5.
x-xExC-xE=y-yEyC-yE - уравнение медианы СЕ.
x-139-13=y-111,5-11 ⇒ x-13-4=y-11-9,5 ⇒9,5x-13=4y-11 ⇒
⇒ 19x-13=8y-11 ⇒ 19x-247=8y-88,
19x-8y-159=0 - уравнение медианы СЕ.
5) Точка пересечения высот треугольника.
Точка М — точка пересечения высот . Необходимо найти уравнения высот.
4x-3y-19=0 - уравнение высоты CD.
Найдем уравнение высоты ВК.
Угловой коэффициент АС - kAC=yC-yAxC-xA=11-613-3=510=12 ⇒ угловой коэффициент ВК находим из условия перпендикулярности прямых АС и ВК: kAC∙kВК=-1 ⇒
kВК=-1kAC ⇒ kВК=-2.
y-y0=kBK∙x-x0 - уравнение прямой BK, x0;y0 - координаты точки B.
y--3=-2∙x-15,
y+3+2x-30=0,
2x+y-27=0 - уравнение прямой ВК.
Чтобы найти координаты точки М, решим систему уравнений:
4x-3y-19=0, 2x+y-27=0, ⇒4x-3y-19=0, -4x-2y+54=0, ⇒ y=7,2x+7-27=0