Провести полную обработку экспериментальных данных по заданной выборке объема n, взятой из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины с заданной доверительной вероятностью γ.
Найти вариационный ряд, полигон частот.
Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7–10 интервалов), построить гистограмму частот.
Методом условных вариант найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2.
Найти доверительный интервал для m=Mξ.
а)в случае известной σ (в качестве известной σ взять найденную величину s);
б)в случае неизвестной σ.
Найти доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения σ=Dξ.
По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. γ=0,99.
Выборка
7,1 6,7 6,2 6 5,8 5,4 6,9 6,5 6,1 6
6 5,6 5,3 7,7 6,8 6,5 6,1 4,7 5,6 5,4
5,3 7,4 6,7 6,4 6,1 4,5 6 5,8 5,6 5,1
Решение
Найти вариационный ряд, полигон частот.
Результаты наблюдений зафиксированы в порядке их появления. Объем выборки равен количеству наблюдений n=30. Для составления вариационного ряда (аналог дискретной случайно величины) упорядочим выборочные данные в порядке возрастания xmin=x1<x2<…<xk-1<xk=xmax. Составим таблицу 1, в которой в первом столбце записываем значения xi в порядке возрастания xmin до xmax, во втором столбце указываем частоты наблюдений xi, т.е. количества появлений каждого значения xi в выборке. В третьем столбце указываем относительные частоты появлений значений xi: wi=nin. Последняя строка – контрольная, для проверки правильности заполнения последних двух столбцов таблицы.
Заметим, что должны выполняться равенства
i=1kni=n;i=1kwi=1.
Для заданной выборки имеем xmin=4,5; xmax=7,7. По этим данным определяем размах выборки R=xmax-xmin=7,7-4,5=3,2.
Таблица 1.
xi
ni
wi
4,5 1 0,033
4,7 1 0,033
5,1 1 0,033
5,3 2 0,067
5,4 2 0,067
5,6 3 0,100
5,8 2 0,067
6 4 0,133
6,1 3 0,100
6,2 1 0,033
6,4 1 0,033
6,5 2 0,067
6,7 2 0,067
6,8 1 0,033
6,9 1 0,033
7,1 1 0,033
7,4 1 0,033
7,7 1 0,033
Сумма 30 1
Для построения полигона частот в прямоугольной системе координат 𝑋𝑂𝑌 откладываем по оси абсцисс значения вариант xi, а по оси ординат – частоты вариант ni. Полученные точки Mi(xi; ni) (𝑖 = 1,2,…, 𝑘) соединяем последовательно ломаной:
2. Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7–10 интервалов), построить гистограмму частот.
Для составления интервальной таблицы (аналог непрерывной случайной величины) необходимо подобрать число интервалов l и определить длину интервалов h из условия R=l∙h, где R – размах выборки. Величину l подбираем целым числом в диапазоне от 6 до 10. Порядок l определяется формулой Стерджесса
l=1+3,322lgn,
дающей наиболее удобное количество интервалов для обработки выборки объема n, в нашем случае l=1+3,322lg30≈6.
Поскольку
6≤l=Rh≤10,
6≤l=xmax-xminh≤10,
6≤l=3,2h≤10,
то удобнее выбрать h=0,4, а значит l=8.
Полученные данные позволяют заполнить интервальную таблицу 2.
Обычно левый конец каждого промежутка включается в интервал, а правый – нет, кроме последнего, который является отрезком.
Таблица 2
№ п/п [xi-1, xi)
xi*
ni
ni
yi
wi
wi
1 [4,5-4,9) 4,7 2 2 5 0,07 0,067
2 [4,9-5,3) 5,1 3 5 7,5 0,10 0,167
3 [5,3-5,7) 5,5 5 10 12,5 0,17 0,333
4 [5,7-6,1) 5,9 9 19 22,5 0,30 0,633
5 [6,1-6,5) 6,3 4 23 10 0,13 0,767
6 [6,5-6,9) 6,7 4 27 10 0,13 0,9
7 [6,9-7,3) 7,1 1 28 2,5 0,03 0,933
8 [7,3-7,7] 7,5 2 30 5 0,07 1
Для построения гистограммы частот в прямоугольной системе координат XOY на каждом промежутке [xi-1, xi) строится прямоугольник высотой yi=nih, где h – длина интервала.
3. Методом условных вариант найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2.
Для нахождения выборочного среднего
x=1ni=1lxi*
и исправленной выборочной дисперсии
s2=1n-1i=1lxi*-x2=nn-1Dв,
где Dв=1ni=1lxi*-x2 – выборочная дисперсия, применим метод условных вариант. Этот метод состоит в том, что по исходным данным xi* – строятся новые, позволяющие упростить вычисления, т.н
. «условные», варианты ui=xi*-Ch, где параметр C называется «ложным нулем» (этот параметр выбирается произвольно). В нашем случае для удобства в качестве параметра C выберем варианту с наибольшей частотой xi*=5,9.
Используя таблицу 2, составляем таблицу 3, в которой первые четыре столбца те же. Столбцы с пятого по восьмой заполняем данными, необходимыми для вычисления. Суммы по пятому, шестому и седьмому столбцы используем для вычисления величин M1*=1ni=1lniui, M2*=1ni=1lniui2, а выборочное среднее вычислим по формуле x=M1*h+C, выборочную дисперсию s2=nn-1∙M2*-M1*2∙h2.
Таблица 3
№ п/п [xi-1, xi)
xi*
ni
ui
niui
niui2
1 [4,5-4,9) 4,7 2 -3 -6 18
2 [4,9-5,3) 5,1 3 -2 -6 12
3 [5,3-5,7) 5,5 5 -1 -5 5
4 [5,7-6,1) C= 5,9 9 0 0 0
5 [6,1-6,5) 6,3 4 1 4 4
6 [6,5-6,9) 6,7 4 2 8 16
7 [6,9-7,3) 7,1 1 3 3 9
8 [7,3-7,7] 7,5 2 4 8 32
Сумма
30 4 6 96
В нашем случае С=5,9, h=0,4, l=8, тогда ui=xi*-5,90,4(𝑖 = 1, 2,…, 8),
M1*=130i=1lniui=130∙6=15=0,2;
M2*=130i=1lniui2=130∙96=3,2;
выборочное среднее:
x=M1*h+C=0,2∙0,4+5,9=5,98;
выборочная дисперсия:
s2=nn-1∙M2*-M1*2∙h2=3030-1∙3,2-0,22∙0,42=0,523,
исправленное среднеквадратичное отклонение:
s=s2=0,523=0,723.
4. Найти доверительный интервал для m=Mξ.
а)в случае известной σ (в качестве известной σ взять найденную величину s);
б)в случае неизвестной σ.
а) В случае известной дисперсии доверительный интервал имеет вид
x-tγ∙σn<m<x+tγ∙σn
где x – выборочное среднее, n – объем выборки, δ=tγ∙σn – точность интервальной оценки, величина tγ находится по функции Лапласа Φx=12π0xe-t22dt из условия Φtγ=γ2.
По условию n=30, σ=s=0,723, x=5,98, γ=0,99, tγ находим из условия Φtγ=0,992=0,495 по таблице значений функции Φx: tγ=2,58. Значит, δ=2,58∙0,72330=0,341, а, следовательно, доверительный интервал:
5,639=5,98-0,341<m<5,98+0,341=6,321
Т.е. доверительный интервал (5,639; 6,321), длина которого равна 2δ=2∙0,341=0,682, с вероятностью 0,99 «накрывает» неизвестное математическое ожидание m.
б) В случае неизвестной дисперсии доверительный интервал имеет вид
x-tγ∙sn<m<x+tγ∙sn
где x – выборочное среднее, n – объем выборки, δ=tγ∙sn – точность интервальной оценки, величина tγ определяется как критическая точка распределения Стьюдента по специальной таблице значений t(γ, n).
По условию n=30, s=0,723, x=5,98, γ=0,99, tγ находим по указанной таблице tγ=t0,99;30=2,75. Значит, δ=2,75∙0,72330=0,363, а, следовательно, доверительный интервал
5,617=5,98-0,363<m<5,98+0,363=6,343
Итак, доверительный интервал (5,617; 6,343), длина которого равна 2δ=2∙0,363=0,726, с вероятностью 0,99 «накрывает» неизвестное математическое ожидание m.
5. Найти доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения σ=Dξ.
Доверительный интервал для оценки неизвестного среднеквадратического отклонения имеет вид
s(1-qγ)<σ<s(1+qγ)
в случае, если qγ<1, или
0<σ<s(1+qγ)
в случае, если qγ≥1. Величина qγ определяется по специальной таблице значений qγ=q(γ, n), связанных χ2-распределением.
По условию n=30, s=0,723, γ=0,99, qγ=q0,99;30=0,43<1, значит, доверительный интервал
0,412≈0,723∙(1-0,43)<σ<0,723∙(1+0,43)≈1,034
Итак, доверительный интервал (0,412; 1,034), длина которого равна 0,622, с вероятностью 0,99 «накрывает» неизвестное среднеквадратичное отклонение σ.
6. По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
