Провести полное исследование и построить график функции y=fx. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке -4,5;6. y= x2-165x+5

1) Область определения:
x+5≠0; x≠-5⇒
Область определения:
x∈-∞;-5∪5;+∞
2) Точки пересечения с осями координат
Точка пересечения с ОY:
y0=02-1650+5=-1625
Точка пересечения с ОХ: x2-16=0⟹x-4x+4=0
-4;0;4;0
3) Четность, нечетность.
y-x= -x2-165-x+5=x2-165-x+5≠x2-165x+5-x2-165x+5
следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
4) Периодичность
yx+T= x+T2-165x+T+5≠yx при T≠0
функция не периодична.
5) Точки разрыва
Функция непрерывна в области определения.
Точка x=-5
limx→-5-0x2-165x+5=25+0-165-5-0+5=-∞; limx→-5+0x2-165x+5=25-0-165-5+0+5=∞.
Следовательно, в точке x=-5 – разрыв второго рода, бесконечный разрыв.
6) Вертикальные асимптоты.
x=-5.
7) Наклонные асимптоты: y=kx+b
k=limx→±∞yxx=limx→±∞x2-165x+5x=limx→±∞x21-16x251+5xx2=limx→±∞1-16x251+5x=15.
b=limx→±∞fx-kx=limx→±∞x2-165x+5-15x=limx→±∞x2-16-x2-5x5x+5=limx→±∞x-5-16x5x1+5x=
=limx→±∞-5-16x51+5x=-1.
Наклонная асимптота:
y=15x-1.
8) Экстремумы, интервалы монотонности
Первая производная
y'= x2-165x+5'=10xx+5-5x2-1625x+52=x2+10x+165x+52
x2+10x+16=0⟹x1,2=-10±100-642⟹x1,2=-10±62⟹x1=-8; ⟹x2=-2.
Производная равна нулю в точках x1=-8, x2=-2.
+
–
+
-8
-5
y'
–
-2
+
–
+
-8
-5
y'
–
-2
Производная не определена в точке x3=-5.
x<-8⇒y'>0-функция возрастает
-8 -5 x>-2⇒y'>0-функция возрастает
x=-8-точка локального максимума y-8=-3,2