Xmin=288, xmax=350, n=237 h=7
Разобьем выборку на 10 интервалов, приняв за начало первого интервала xmin=285
[xi;xi+1)
[285;292)
[292;299)
[299;306)
[306;313)
[313;320)
[320;327)
[327;334)
[334;341)
[341;348)
[348;355)
ni
4 8 22 36 62 50 33 16 5 1
nin
0,017 0,034
0,093 0,152 0,262 0,211 0,139 0,067 0,021 0,004
Приняв в качестве новых вариант yi серединные значения частичных интервалов, построим распределение равноотстоящих вариант для вычисления точечных оценок генеральной средней и дисперсии методом произведений
yi
288,5
295,5
302,5
309,5
316,5
323,5
330,5
337,5
344,5
351,5
ni
4 8 22 36 62 50 33 16 5 1
Выберем C=12y1+y10=288,5+351,52=320
ui=(yi-C)h M1*=niuin M2*=niui2n
yв=M1*h+C Dв=(M2*-M1*2)h2
Составим расчетную таблицу:
yi
ni
ui
niui
niui2
288,5 4 -4,5 -18 81
295,5 8 -3,5 -28 98
302,5 22 -2,5 -55 137,5
309,5 36 -1,5 -54 81
316,5 62 -0,5 -31 15,5
323,5 50 0,5 25 12,5
330,5 33 1,5 49,5 74,25
337,5 16 2,5 40 100
344,5 5 3,5 17,5 61,25
351,5 1 4,5 4,5 20,25
237 0 -49,5 681,25
M1*=-49,5237≈-0,21 M2*=681,25237≈2,87
yв=-0,21∙7+320=318,53
Dв=(2,87-(-0,21)2)∙49≈138,47 σВ=Dв=11,77
Для получения интервальной оценки математического ожидания a нормально распределённой случайной величины по выборочной средней xВ и неизвестной дисперсии используем формулу:
xВ-tγ∙Sn<a<xВ+tγ∙Sn
S2=nn-1∙Dв=237236∙138,47=139,05 => S=11,79
tγ=1,984
tγ∙Sn=1,984∙11,89237=1,53
318,53-1,53<a<318,53+1,53
317<a<320,06
доверительный интервал для дисперсии можно записать в виде:
(n-1)S2u2<σ2<(n-1)S2u1
α2=1-0,952=0,025 α1=1+0,952=0,975 k=237-1=236
Так как в нашем случае k>30 используем равенство Уилсона-Гильферти для нахождения u2 и u1:
1-2α12=0,5-0,975=-0,475 Фzα1=-0,475 => zα1=-1,96
1-2α22=0,5-0,025=0,475 Фzα2=0,475 => zα2=1,96
u1=236∙1-29∙236-1,96∙29∙2363=195,34
u2=236∙1-29∙236+1,96∙29∙2363=280,45
236∙139,05280,45<σ2<236∙139,05195,34
117<σ2<168
Считаем, что эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот:
[xi;xi+1)
[285;292)
[292;299)
[299;306)
[306;313)
[313;320)
[320;327)
[327;334)
[334;341)
[341;348)
[348;355)
ni
4 8 22 36 62 50 33 16 5 1
Объединим интервалы с количеством частот меньше пяти:
[xi;xi+1)
[285;299)
[299;306)
[306;313)
[313;320)
[320;327)
[327;334)
[334;341)
[341;355)
ni
12 22 36 62 50 33 16 6
Перейдем к новой случайной величине:
zi=xi-xВσВ, z1=-∞ z9=∞
z2=299-318,5311,77=-1,66
z3=306-318,5311,77=-1,06
z4=313-318,5311,77=-0,47
z5=320-318,5311,77=0,12
z6=327-318,5311,77=0,72
z7=334-318,5311,77=1,31
z8=341-318,5311,77=1,91
Найдём теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал
Найдем теоретические частоты:
ni'=nPi
P1=Ф-1,66-Ф-∞=-0,4515+0,5=0,0485 n1'=237∙0,0485=11,49
P2=Ф-1,06-Ф-1,66=-0,3554+0,4515=0,0961 n2'=237∙0,0961=22,78
P3=Ф-0,47-Ф-1,06=-0,1808+0,3554=0,1746 n3'=237∙0,1746=41,38
P4=Ф0,12-Ф-0,47=0,0478+0,1808=0,2286 n4'=237∙0,2286=54,18
P5=Ф0,72-Ф0,12=0,2642-0,0478=0,2164 n5'=237∙0,2164=51,29
P6=Ф1,31-Ф0,72=0,4049-0,2642=0,1407 n6'=237∙0,1407=33,35
P7=Ф1,91-Ф1,31=0,4719-0,4049=0,067 n7'=237∙0,067=15,88
P8=Ф∞-Ф1,91=0,5-0,4719=0,0281 n8'=237∙0,0281=6,66
Посчитаем статистику по формуле:
χнабл2=i=18(ni-ni')2ni'=1,98
По таблице критических точек распределения χ2, по заданному уровню значимости α=0,01 и числу степеней свободы k=8-3=5, находим критическую точку правосторонней критической области:
χкрит2=15,08
Так как χнабл2<χкрит2 , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
