Проверить являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений

Проверим вначале, являются ли заданные функции первыми интегралами системы (проверяем выполнение тождества ddtψi=0).
Рассмотрим ψ1=x-yt-x. Дифференцируем:
ddtx-yt-x=dxdt-dydtt-x-x-y1-dxdtt-x2
Подставляем значения производных:
t+yx+y-t+xx+yt-x-x-y1-t+yx+yt-x2=y-xt-xx+y-x-yx-tt-x2x+y≡0
Таким образом, ψ1=x+y+t является первым интегралом системы.
Рассмотрим ψ2=t-xt-y . Дифференцируем:
ddtt-xt-y=1-dxdtt-y-t-x1-dydtt-y2
Подставляем значения производных:
1-t+yx+yt-y-t-x1-t+xx+yt-y2=x-tt-yx+y-t-xy-tt-y2x+y≡0
Таким образом, ψ2=x2+y2+t2 является первым интегралом системы.
Проверяем, являются ли первые интегралы независимыми.
Записываем матрицу Якоби:
J=∂ψ1∂x∂ψ1∂y∂ψ2∂x∂ψ2∂y=t-yt-x2-1t-x-1t-yt-xt-y2
Поскольку
J=t-yt-x2∙t-xt-y2-1t-xt-y=0
то первые интегралы являются зависимыми.