Проверить являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Проверить являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений

Проверить являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Проверить, являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений. dxdt=t+yx+ydydt=t+xx+y,x-yt-x=C1;t-xt-y=C2

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Проверим вначале, являются ли заданные функции первыми интегралами системы (проверяем выполнение тождества ddtψi=0).
Рассмотрим ψ1=x-yt-x. Дифференцируем:
ddtx-yt-x=dxdt-dydtt-x-x-y1-dxdtt-x2
Подставляем значения производных:
t+yx+y-t+xx+yt-x-x-y1-t+yx+yt-x2=y-xt-xx+y-x-yx-tt-x2x+y≡0
Таким образом, ψ1=x+y+t является первым интегралом системы.
Рассмотрим ψ2=t-xt-y . Дифференцируем:
ddtt-xt-y=1-dxdtt-y-t-x1-dydtt-y2
Подставляем значения производных:
1-t+yx+yt-y-t-x1-t+xx+yt-y2=x-tt-yx+y-t-xy-tt-y2x+y≡0
Таким образом, ψ2=x2+y2+t2 является первым интегралом системы.
Проверяем, являются ли первые интегралы независимыми.
Записываем матрицу Якоби:
J=∂ψ1∂x∂ψ1∂y∂ψ2∂x∂ψ2∂y=t-yt-x2-1t-x-1t-yt-xt-y2
Поскольку
J=t-yt-x2∙t-xt-y2-1t-xt-y=0
то первые интегралы являются зависимыми.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу