Проверить являются ли данные системы функций решениями данных систем дифференциальных уравнений

Проверим вначале, являются ли заданные функции первыми интегралами системы (проверяем выполнение тождества ddtψi=0).
Рассмотрим ψ1=x+y+t. Дифференцируем:
ddtx+y+t=dxdt+dydt+1
Подставляем значения производных:
t-yy-x+x-ty-x+1=t-y+x-t+y-xy-x≡0
Таким образом, ψ1=x+y+t является первым интегралом системы.
Рассмотрим ψ2=x2+y2+t2 . Дифференцируем:
ddtx2+y2+t2=2xdxdt+2ydydt+2t
Подставляем значения производных:
2x∙t-yy-x+2y∙x-ty-x+2t=2xt-y+2yx-t+2ty-xy-x≡0
Таким образом, ψ2=x2+y2+t2 является первым интегралом системы.
Проверяем, являются ли первые интегралы независимыми.
Записываем матрицу Якоби:
J=∂ψ1∂x∂ψ1∂y∂ψ2∂x∂ψ2∂y=112x2y
Поскольку J=2y-2x≠0, то первые интегралы независимы.