Проверить является ли уравнение однородным. Найти общее решение дифференциального уравнения: y'=x+yx-y

Проверим, является ли данное уравнение однородным. В исходное уравнение: вместо x подставляем λx, вместо y подставляем λy, производную не трогаем. Параметр лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся сократить все лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным.
y'=λx+λyλx-λy
y'=λx+yλx-y
y'=x+yx-y
В результате нам удалось сократить все лямбды, следовательно, данное уравнение является однородным.
Найдем общее решение данного дифференциального уравнения.
Сделаем замену:
y=ux;y'=u'x+u;u=yx
u'x+u=x+uxx-ux
u'x+u=x1+ux1-u
u'x+u=1+u1-u
u'x=1+u1-u-u
u'x=1+u-u1-u1-u
u'x=1+u-u+u21-u
u'x=1+u21-u
u'=1+u2x1-u
dudx=1+u2x1-u
1-udu1+u2=dxx
11+u2-u1+u2du=dxx
arctgu-12ln1+u2=lnx+C
Общее решение имеет вид:
u=yx
arctgyx-12ln1+y2x2=lnx+C
arctgyx-12ln1+y2x2-lnx=C