Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки

По условию выборочные данные подчиняются неизвестному закону распределения. С помощью критерия Пирсона проверим гипотезу о том, что неизвестное распределение подчиняется нормальному закону. Находим значение критерия согласия Пирсона по формуле
χr2=i=1kmi-miT2miT.
Для этого рассчитаем теоретические частоты miT=piT∙n, где n=i=1kmi,
piT=Pzi≤X≤zi+1=FNxi+1-FNxi, причем zi=xi-ys и FNxi=0,5+Фzi.
Прежде всего, найдем s2=nn-1σ2, где
σ2 - выборочная дисперсия,
s2 - «исправленная» выборочная дисперсия,
y - выборочное среднее равноотстоящих вариант.
Найдем выборочное среднее y, используя интервальный вариационный ряд. Вся выборка разбита на шесть интервалов k=6, где в каждом интервале его длина составляет h=0,9. Определим новые варианты, которые являются серединами частичных интервалов. В шестом интервале середину найдем по формуле
y6=xmax-h2=6,3-0,92=5,85.
Аналогично находим, что
y5=y6-h=5,85-0,9=4,95;
y4=y5-h=4,95-0,9=4,05;
y3=y4-h=4,05-0,9=3,15;
y2=y3-h=3,15-0,9=2,25;
y1=y2-h=2,25-0,9=1,35.
Получим распределение равноотстоящих вариант
yi
1,35
2,25
3,15
4,05
4,95
5,85
ni
3
17
24
10
4
2
Тогда выборочное среднее равно
yв=i=16yinii=16ni=1,35∙3+2,25∙17+3,15∙24+4,05∙10+4,95∙4+5,85∙23+17+24+10+4+2==4,05+38,25+75,6+40,5+19,8+11,760=189,960=3,165.
Находим y2, x2, x2, y2:
y2=i=16yi2nii=16ni=1,352∙3+2,252∙17+3,152∙24+4,052∙10+4,952∙4+5,852∙260=5,4675+86,0625+238,14+164,025+98,01+68,44560=660,1560==11,0025;
y2=3,1652=10,017225;
σ2=11,0025-10,017225=0,985275.
Тогда
s2=nn-1σ2=6059∙0,985275≈1,
s=1.
Находим:
При x0=-∞ и x1=0,9
z0=-∞-3,1651=-∞; Ф-∞=-0,5;
z1=0,9-3,16543,5=-2,265; Ф-2,265=-0,4881
FN0=0,5+-0,5=0; FN0,9=0,5+-0,4881=0,0119;
p0T=FN0,9-FN0=0,0119; m0T=0,0119∙100=1,19;
m0-m0T2m0T= -.
При x1=0,9 и x2=1,8
z1=-2,265; Ф-2,265=-0,4881;
z2=1,8-3,1651=-1,365; Ф-1,365=-0,4147;
FN0,9=0,0119; FN1,8=0,5+-0,4147=0,0853;
p1T=FN1,8-FN0,9=0,0853-0,0119=0,0734;
m1T=0,0734∙100=7,34;
m1-m1T2m1T=3-7,3427,34=2,566.
При x2=1,8 и x3=2,7
z2=-1,365; Ф-1,365=-0,4147;
z3=2,7-3,1651=-0,465; Ф-0,465=-0,1808;
FN1,8=0,0853; FN2,7=0,5+-0,1808=0,3192;
p2T=FN2,7-FN1,8=0,3192-0,0853=0,2339;
m2T=0,2339∙100=23,39;
m2-m2T2m2T=17-23,39223,39=1,746.
При x3=2,7 и x4=3,6
z3=-0,465; Ф-0,465=-0,1808;
z4=3,6-3,1651=0,435; Ф0,435=0,17;
FN2,7=0,3192; FN3,6=0,5+0,17=0,67;
p3T=FN3,6-FN2,7=0,67-0,3192=0,3508;
m3T=0,3508∙100=35,08;
m3-m3T2m3T=24-35,08235,08=3,5.
При x4=3,6 и x5=4,5
z4=0,435; Ф0,435=0,17;
z5=4,5-3,1651=1,335; Ф1,335=0,4099;
FN3,6=0,67; FN4,5=0,5+0,4099=0,9099;
p4T=FN4,5-FN3,6=0,9099-0,67=0,2399;
m4T=0,2399∙100=23,99;
m4-m4T2m4T=10-23,99223,99=8,158.
При x5=4,5 и x6=5,4
z5=1,335; Ф1,335=0,4099;
z6=5,4-3,1651=2,235; Ф2,235=0,4875;
FN4,5=0,9099; FN5,4=0,5+0,4875=0,9875;
p5T=FN5,4-FN4,5=0,9875-0,9099=0,0776;
m5T=0,0776∙100=7,76;
m5-m5T2m5T=4-7,7627,76=1,823.
При x6=5,4 и x7=6,3
z6=2,235; Ф2,235=0,4875;
z7=6,3-3,1651=3,135; Ф3,135=0,49903;
FN5,4=0,9875; FN6,3=0,5+0,49903=0,99903;
p6T=FN6,3-FN5,4=0,99903-0,9875=0,01153;
m6T=0,01153∙100=1,153;
m6-m6T2m6T=2-1,15321,153=0,622.
При x7=6,3 и x8=∞
z7=3,135; Ф3,135=0,49903;
z8=∞-3,1651=∞; Ф∞=0,5;
FN6,3=0,99903; FN∞=0,5+0,5=1;
p7T=FN∞-FN6,3=1-0,99903=0,00097;
m7T=0,00097∙100=0,097;
m7-m7T2m7T=-.
Результаты вычислений занесем в таблицу
i
xi+xi+1
mi
Фzi
FNxi
FNxi+1
piT=FNxi+1-FNxi, miT=piT∙n
mi-miT2miT
0
-∞÷0,9
0
-0,5
0
0,0119
0,0119
-
-
1
0,9÷1,8
3
-0,4881
0,0119
0,0853
0,0734
7,34
2,566
2
1,8÷2,7
17
-0,4147
0,0853
0,3192
0,2339
23,39
1,746
3
2,7÷3,6
24
-0,1808
0,3192
0,67
0,3508
35,08
3,5
4
3,6÷4,5
10
-0,17
0,67
0,9099
0,2399
23,99
8,158
5
4,5÷5,4
4
0,4099
0,9099
0,9875
0,0776
7,76
1,823
6
5,4÷6,3
2
0,4875
0,9875
0,99903
0,01153
1,153
0,622
7
6,3÷∞
0
0,49903 0,99903
1
0,00097
0,097
-
=60
=1
=18,415
Для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=6-2-1=3 χкр2=7,8