Проверить является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Проверить является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным

Проверить является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Проверить, является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал: F=x2y+y3i+zx3-xy2j+x-yk F=2xy2z2i+2x2yz2j+2x2y2zk

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Векторное поле представлено в виде:
F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
Px,y,z=x2y+y3 Qx,y,z=zx3-xy2 Rx,y,z=x-y
Вычислим ротор векторного поля:
rot F=ijk∂∂x∂∂y∂∂zx2y+y3zx3-xy2x-y=
=i∂x-y∂y-∂zx3-xy2∂z-j∂x-y∂x-∂x2y+y3∂z+
+∂zx3-xy2∂x-∂x2y+y3∂y=i-1-x3-j+k3zx2-y2-x2-3y2≠0
Поле не является потенциальным.
Найдем дивергенцию векторного поля:
div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=∂x2y+y3∂x+∂zx3-xy2∂y+∂x-y∂z=2xy-2xy=0
Векторное поле соленоидально.
b) Векторное поле представлено в виде:
F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k
Px,y,z=2xy2z2 Qx,y,z=2x2yz2 Rx,y,z=2x2y2z
Вычислим ротор векторного поля:
rot F=ijk∂∂x∂∂y∂∂z2xy2z22x2yz22x2y2z=
=i∂2x2y2z∂y-∂2x2yz2∂z-j∂2x2y2z∂x-∂2xy2z2∂z+∂2x2yz2∂x-∂2xy2z2∂y
=i4x2yz-4x2yz-j4xy2z-4xy2z+k4xyz2-4xyz2=0,0,0
Векторное поле потенциально.
Найдем потенциал по формуле:
ux,y,z=x0xPx,y0,z0dx+y0yQx,y,z0dy+z0zRx,y,zdz+C
В качестве начальной точки возьмем точку (0;0;0)
ux,y,z=0x0dx+0y0dy+0z2x2y2zdz+C=x2y2z2z0=x2y2z2+C
du=Pdx+Qdy+Rdz
Найдем дивергенцию векторного поля:
div F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z=∂2xy2z2∂x+∂2x2yz2∂y+∂2x2y2z∂z=
=2y2z2+2x2z2+2x2y2≠0
Векторное поле не соленоидально.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу