Проведите полное исследование. Бесплатный доступ к контрольной работе

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Проведите полное исследование (область определения, точки разрыва и их классификация, промежутки возрастания, убывания, точки локального экстремума, промежутки выпуклости вверх/вниз, точки перегиба; асимптоты, чётность/нечётность, периодичность) и постройте эскиз графика функции y=x+1- 3x+ 2x2.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдём область определения функции D(x), учитывая, что x≠0, то есть Dx:x ∈-∞;0∪0;+∞.
Исследуем функцию на чётность/нечётность. Это функция общего вида, так как:
y-x= -x+1+ 3x+2x2≠yx,
y-x= -x+1+ 3x+2x2≠-yx=-x-1+3x-2x2
Найдём точки пересечения с осями координат Ox и Oy.
Если y=0, то x+1- 3x+ 2x2=0⟺x3+x2-3x+2x2=0⇔x3+x2-3x+2=0
Решим полученное кубическое уравнение по формулам Кардано. Приведём его к виду y3+py+q=0. Используем формулы:
p=-b23∙a2+ ca=- 123∙12-31≈-3,3333,q=2b327a3-bc3a2+da=2∙1327∙13-1∙-33∙12≈3,0741
Найдём количество корней кубического уравнения по формуле:
Q=p33+q22=-3,333333+3,074122≈0,9907
Уравнение имеет один вещественный корень и два комплексных. Нас интересует вещественный корень . Ищем его, используя формулы:
α=- q2+ Q13=- 3,07412+ 0,990713≈-0,8152β=- q2- Q13=- 3,07412- 0,990713≈-1,363
x=α+β-b3a=-0,8152-1,363-13∙1≈-2,5115
⇒A(-2,5115;0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Точек пересечения с осью ординат нет.
Очевидно, что y<0 при x∈ -∞;-2,5115 и y>0 при x ∈-2,5115;0∪0;+∞.
Найдём асимптоты графика функции.
а) вертикальные асимптоты
Асимптота такого рода может быть в точке разрыва x=0. В этой точке не существует общий предел limx→0x+1- 3x+ 2x2. Находим односторонние пределы:
limx→-0x+1- 3x+ 2x2=∞ предел слева
limx→∓0x+1- 3x+ 2x2=∞ (предел справа)
Так как в обоих случаях значения односторонних пределов не являются конечными числами, то x=0 – точка разрыва 2-го рода и вертикальная асимптота.
б) наклонные асимптоты
Их общий вид таков y=kx+b, где:
k=limx→∞y(x)x,b=limx→∞yx-kx
Тогда:
k=limx→∞x3+x2-3x+2x2x=limx→∞x3+x2-3x+2x3=limx→∞1+1x→0-3x2→0+2x3→0=1
b=limx→∞x3+x2-3x+2x2-x=limx→∞x3+x2-3x+2-x3x2=limx→∞1-3x→0+2x2→0=1
Выходит, что y=x+1 – наклонная асимптота.
Ищем максимумы/минимумы и промежутки возрастания/убывания.
Находим 1-ю производную:
y'=x+1- 3x+ 2x2'=1+3x2-4x3=x3+3x-4x3
Очевидно, что y'=0⇔x3+3x-4=0⇔x=1 (корень найден методом подбора)

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу