Проведено бюджетное обследование 18 случайно выбранных домохозяйств. Оно дало следующие результаты (в ден. ед.):
домохозяйство
Накопления, y Доход, x1 Стоимость имущества, x2 домохозяйство
Накопления, y Доход, x1 Стоимость имущества, x2
1 16,6 44,3 47,7 10 21,1 72,6 60,8
2 41,2 82,7 34,9 11
9,8 26,2 56,3
3 6,4 27,4 33,9 12 29,7 82,4 70
4 28,3 70,7 65,7 13 13,7 52,1 74,8
5 29,5 72,5 44,3 14 20,7 46,1 35,8
6 30,8 39,7 57,1 15 28,8 55,4 31,3
7 22,9 68,4 64,6 16 13,6 33,6 29,8
8 23,7 28 33,9 17 23,2 47,6 27,9
9 14,3 29,6 36 18 36,8 73,8 46,3
Требуется:
Построить корреляционное поле между накоплениями и доходом. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между накоплениями и доходом.
Оценить тесноту линейной связи между накоплениями и доходом с надежностью 0,9.
Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости накоплений от дохода.
Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.
Для домохозяйства с доходом 69,1 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,9.
Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии для зависимость накоплений от дохода и стоимости имущества. Пояснить экономический смысл его параметров.
Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью F-критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.
Для домохозяйства с доходом 69,1 ден. ед. и стоимостью имущества 45 ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,9.
Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.
Решение
Построим корреляционное поле между накоплениями и доходом. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между накоплениями и доходом.
Рис.1 Поле корреляции
По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличие связи. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу, что между факторным признаком и результативным признаком существует прямая, линейная связь.
Оценим тесноту линейной связи между накоплениями и доходом с надежностью 0,9.
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
,
где ;
Вычислим :
Значения линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1;1]. Связь между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
менее 0,1 отсутствует линейная связь0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Для нашей задачи r = 0,741, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками прямая, а также указывает на заметную взаимосвязь между накоплением и доходом. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,1 составит tтабл = 1,75.
Далее рассчитываем стандартную ошибку .
Фактическое значение статистик равно:
Фактическое значение статистики превосходит табличное значение:, поэтому коэффициент корреляции не случайно отличается от нуля, а статистически значим.
Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости накоплений от дохода.
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
Номер региона
44,3 16,6 735,38 1962,49 275,56 19,83822
82,7 41,2 3407,24 6839,29 1697,44 33,1591
27,4 6,4 175,36 750,76 40,96 13,97564
70,7 28,3 2000,81 4998,49 800,89 28,99633
72,5 29,5 2138,75 5256,25 870,25 29,62074
39,7 30,8 1222,76 1576,09 948,64 18,24249
68,4 22,9 1566,36 4678,56 524,41 28,19846
28 23,7 663,6 784 561,69 14,18378
29,6 14,3 423,28 876,16 204,49 14,73882
72,6 21,1 1531,86 5270,76 445,21 29,65543
26,2 9,8 256,76 686,44 96,04 13,55937
82,4 29,7 2447,28 6789,76 882,09 33,05504
52,1 13,7 713,77 2714,41 187,69 22,54403
46,1 20,7 954,27 2125,21 428,49 20,46264
55,4 28,8 1595,52 3069,16 829,44 23,68879
33,6 13,6 456,96 1128,96 184,96 16,12641
47,6 23,2 1104,32 2265,76 538,24 20,98298
73,8 36,8 2715,84 5446,44 1354,24 30,07171
Сумма 953,1 411,1 24110,12 57218,99 10870,73 411,1
Ср. знач. 52,95 22,83889 1339,451 3178,833 603,9294 22,83889
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр показывает, что с увеличением дохода на 1 ден.ед. накопления возрастают в среднем на 0,347 ден.ед.
Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.
Оценку статистической значимости параметров регрессии икорреляции проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное значение критерия для числа степеней свободыи уровня значимости α = 0,1 составит tтабл = 1,75.
Далее рассчитываем по каждому из параметров его стандартные ошибки: и .
Фактические значения статистик равны:
, .
Фактическое значение статистики превосходит табличноезначение: , поэтому параметр не случайно отличается от нуля, а статистически значим
.
Фактическое значение статистики не превосходит табличноезначение: , поэтому параметр случайно отличается от нуля, а статистически не значим.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
Доверительные интервалы:
и
и
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала параметра приводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, принимает нулевое значение, т.е. является статистически не значимым и не существенно отличным от нуля.
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервалапараметра приводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, не принимают нулевого значения, т.е. является статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Вычислим:
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 54,8% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора и на 45,2% — другими факторами, не включенными в модель.
Проверка значимости уравнения регрессии на основе вычисления F-критерия Фишера.
.
Для определения табличного значения F-критерия при доверительной вероятности 0,1 и при и воспользуемся функцией FРАСПОБР.
В результате получаем значение F-критерия, равное 3,05. Поскольку Fфакт > Fтабл , следовательно уравнение регрессии следует признать адекватным.
Для домохозяйства с доходом 69,1ден. ед. дать точечный и интервальный прогноз накоплений с надежностью 0,9.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использоватьего для прогноза. Если прогнозное значение доходасоставит: 69,1 ден. ед., тогда индивидуальное прогнозное значение накопления составит:
Стандартная ошибка прогноза индивидуального значения зависимой переменной вычисляется по формуле
где
Предельная ошибка прогноза, которая в 9% случаев не будетпревышена, составит:
Доверительный интервал прогноза индивидуального значения вычисляется по формуле
,
Доверительный интервал прогноза индивидуального значения вычисляется по формуле
Выполненный прогноз накопления является надежным () и находится в пределах от 16,63 ден. ед. до 40,25 ден.ед.
Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии для зависимость накоплений от дохода и стоимости имущества. Пояснить экономический смысл его параметров.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественнойрегрессии
необходимо решить систему линейных уравнений относительнонеизвестных параметров воспользоваться готовымиформулами.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
Находим по формулам коэффициенты чистой регрессии ипараметр :
Таким образом, получили следующее уравнение множественнойрегрессии:
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении доходов на 1% (при неизменной стоимости имущества) накопления увеличивается в среднем на 0,409 ден
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
