Произведены прямые многократные измерения параметра изделия, результаты которых в виде отклонений от номинального значения распределились по интервалам (таблица 1). Количество экспериментальных данных, попавших в i-тый интервал, представлено в таблице 1. Требуется:
1 Построить гистограмму эмпирического распределения.
2 Проверить критерием Шарлье наличие и исключить имеющиеся промахи.
3 Проверить гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону Гаусса с помощью критерия Пирсона χ2.
4 Построить доверительный интервал для результата многократных измерений.
Таблица 1 - Исходные данные
Номер интервала Интервалы значений измеряемой величины Число экспериментальных данных, попадающих в каждый i-й интервал
1 -50;-40 8
2 -40;-30 18
3 -30;-20 26
4 -20;-10 37
5 -10;0 45
6 0;10 33
7 10;20 27
8 20;30 20
9 30;40 14
10 40;50 5
Измеряемая величина и размерность Линейный размер, мкм
Доверительная вероятность, Р 0,975
Решение
Рассчитаем среднее арифметическое значение
.
рассчитаем по формуле:
.
Промежуточные вычисления представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Промежуточные вычисления
№ интер-вала Интервал mi Pi
1 -50;-40 -45 8 -360 -42,275 1787,148 14297,187 0,034
2 -40;-30 -35 18 -630 -32,275 1041,655 18749,787 0,077
3 -30;-20 -25 26 -650 -22,275 496,161 12900,193 0,112
4 -20;-10 -15 37 -555 -12,275 150,668 5574,706 0,159
5 -10;0 -5 45 -225 -2,275 5,174 232,837 0,193
6 0;10 5 33 165 7,725 59,681 1969,460 0,142
7 10;20 15 27 405 17,725 314,187 8483,050 0,116
8 20;30 25 20 500 27,725 768,693 15373,869 0,086
9 30;40 35 14 490 37,725 1423,200 19924,799 0,060
10 40;50 45 5 225 47,725 2277,706 11388,532 0,021
Σ=233 Σ=-635
Σ=-108895,421 Σ=1
Рассчитаем среднее квадратичное отклонение (СКО):
Промежуточные вычисления представлены в таблице 2.
Для крайнего результата измерений проверим неравенство:
,
где Кш – значения критерия Шарлье
. В таблице имеется только значение критерия для максимум n=100 (Кш=2,58), поэтому будем использовать его.
В качестве крайних значений возьмем границы крайних интервалов, т.е. значения -50 и 50. Проверим для них неравенство:
или ;
или .
Для обоих крайних значений неравенство не выполняется, следовательно, промахов у нас нет.
Построим гистограмму эмпирического распределения.
Для каждого интервала определить эмпирическую (статистическую) вероятность попадания случайной измеряемой величины в i-й интервал (частость):
где mi ‒ число значений, попавших в i-й интервал;
n ‒ общее число экспериментальных данных:
, где r ‒ число интервалов.
Результаты вычисления частостей сведем в таблицу 2.
Построенная гистограмма представлена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Гистограмма эмпирического распределения
Проверим гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону Гаусса.
Определим теоретическую вероятность попадания значений измеряемой величины в i-й интервал в соответствии с законом нормального распределения:
где Ф (***) – значение функции Лапласа.
Результаты вычислений сведем в таблицу 3.
Таблица 3 – Промежуточные вычисления для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону Гаусса
№ интер-вала Xнi
Xвi
Ф Ф p χ2
1 -50 -40 -2,18 -1,72 -0,4854 -0,4573 0,028 0,322
2 -40 -30 -1,72 -1,26 -0,4573 -0,3962 0,061 0,995
3 -30 -20 -1,26 -0,80 -0,3962 -0,2881 0,108 0,026
4 -20 -10 -0,80 -0,34 -0,2881 -0,1331 0,155 0,022
5 -10 0 -0,34 0,13 -0,1331 0,0517 0,185 0,088
6 0 10 0,13 0,59 0,0517 0,2224 0,171 1,153
7 10 20 0,59 1,05 0,2224 0,3531 0,131 0,392
8 20 30 1,05 1,51 0,3531 0,4345 0,081 0,056
9 30 40 1,51 1,97 0,4345 0,4756 0,041 2,043
10 40 50 1,97 2,43 0,4756 0,4925 0,017 0,287
Рассчитать для каждого интервала значение 2i и внесем их в таблицу 3:
i2=.
Рассчитаем эмпирическое значение 2:
.
Полученное значение сравнить с табличным т2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
