Произведены прямые многократные измерения диметра отверстия в мкм, результаты которых в виде отклонений от номинального значения распределились по интервалам с количеством экспериментальных данных, попавших в i-тый интервал:
Номер интервала Интервалы значений измеряемой величины Число экспериментальных данных в интервале
1 0; 2 8
2 2; 4 43
3 4; 6 57
4 6; 8 86
5 8; 10 120
6 10; 12 106
7 12; 14 93
8 14; 16 53
9 16; 18 25
10 18;20 8
Требуется:
а) построить гистограмму эмпирического распределения;
б) аппроксимировать эмпирическое распределение с помощью нормального закона;
в) проверить согласованность теоретического нормального и эмпирического распределений, пользуясь критерием согласия , при доверительной вероятности P=0,95;
г) представить результат измерений в форме доверительного интервала при заданной доверительной вероятности P=0,95.
Решение
1. Построение гистограммы.
1.1.Определяем относительную частоту попадания случайной величины в каждый i-й интервал:
,
где n=599 - общее число экспериментальных данных.
Получаем:
Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p0i
0,0134 0,0718 0,0952 0,1436 0,2003 0,1770 0,1553 0,0885 0,0417 0,0134
1.2.Вычисляем размах колебаний измеренной величины:
,
где - крайние значения вариационного ряда.
1.3. Рассчитываем ширину интервала:
,
где r = 10 – число интервалов.
1.4. Рассчитываем для каждого интервала значения
.
Получаем:
Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p0i'
0,0067 0,0359 0,0476 0,0718 0,1002 0,0885 0,0776 0,0442 0,0209 0,0067
На основании рассчитанных значений строим гистограмму. Она представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников. Основанием их являются отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а высоты равны частостям этих интервалов, деленным на ширину интервала (рисунок 1).
Рисунок 1
2
. Построение аппроксимирующей кривой, соответствующей нормальному закону.
2.1. Рассчитываем среднее арифметическое значение результатов измерений по формуле:
где - середина i-го интервала.
Получаем:
Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Середина интервала 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
X=1*8+3*43+5*57+7*86+9*120+11*106+13*93++15*53+17*25+19*8599=
=5851599=9,768 мкм.
2.2. Рассчитываем среднее квадратичное отклонение (СКО) по формуле:
Получаем:
S=1-9,7682*8+3-9,7682*43+5-9,7682*57++7-9,7682*86+9-9,7682*120+11-9,7682*106++13-9,7682*93+15-9,7682*53+17-9,7682*25++19-9,7682*8599-1=
=9182,745598=3,92 мкм.
2.3. Проверяем гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону Гаусса. Для этого:
2.3.1. Определяем теоретическую вероятность попадания значений измеряемой величины в i-й интервал (Таблица 1) в соответствии с законом нормального распределения:
PTi = Ф((xвi - )/S) – Ф((xнi -)/S),
где Ф (***) – значение функции Лапласа по приложению А.
При этом следует учесть, что функция Лапласа нечетная, т.е Ф(-t)= -Ф(t)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
