Произведено выборочное обследование роста 25 студентов и получены следующие результаты (в см):
159 162,5 164 164,5 165,5 166 168,5 169 169 170,5 171 171 171 173 174,5 174,5 176 176,5 178 179 182 183,5 184 185 188.
=0,05; γ = 0,95; = 7; h = 5; х0 = 155.
Требуется:
а) найти выборочную среднюю;
б) составить интервальное распределение выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала х0 ;
в) построить полигон и гистограмму частот;
г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости гипотезу о том, что случайная величина μ – количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение;
д) найти с надёжностью γ доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака μ генеральной совокупности.
Решение
А) Выборочное среднее найдем, сложив все значения выборки и разделив на 25 (объем выборки):
.
Еще выборочное среднее можно найти по интервальному сгруппированному ряду по формуле:
где – элемент выборки; – эмпирические частоты; – середина j-го интервала. Для этого сначала нужно построить интервальное распределение выборки.
б) Построим интервальное распределение выборки с шагом h = 5, взяв за начало первого интервала х0 = 155. Получим четыре интервала:
20–25, 25–30, 30–35, 35–40.
Подсчитаем частоту ni по каждому интервалу.Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания полученные интервалы, длина каждого из которых h=5. Во второй сроке запишем количество ni значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал).
Частичный интервал 155–160 160–165 165–170 170–175 175–180 180–185
Середина интервала, хi* 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5
Частота интервала, ni 1 3 5 7 4 4
Объем выборки n=1+3+5+7+4+4=25.
Теперь можем посчитать выборочную среднюю по интервальному ряду:
в) Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы; на каждом из них строим прямоугольники высотой ni , полигон – ломаная линия, соединяющая точки (хi ; ni), где хi середины интервалов:
По виду полигона и гистограммы можно сказать, что мы имеем нормальный закон распределения.
г) Проведем проверку гипотезы Н0 : генеральная совокупность распределена по нормальному закону; конкурирующая гипотеза: Н1 генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.
Используем критерий Пирсона; уровень значимости = 0,05.
Числовые характеристики выборки: 172,7, = 7.
Найдем значения теоретических частот
.
Для определения теоретических частот нормального распределения составим таблицу, в которую занесем такие графы: интервалы, частоты , значения значения функции Лапласа Ф(х) в этих значениях и , т.е и , которые находим по таблицам значений функции Лапласа; затем в графе рi вычисляем вероятность
рi =
попадания в интервал ; в графе nрi находим произведение 25·рi это и будут теоретические частоты .
I αi-1 αi 1104901143000
1162051143000
114300952500
349251143000
1809751905000
1 155 160 1 -2,53 -1,81 -0,494 -0,465 0,029 0,73 0,10
2 160 165 3 -1,81 -1,10 -0,465 -0,364 0,101 2,52 0,09
3 165 170 5 -1,10 -0,39 -0,364 -0,150 0,214 5,35 0,02
4 170 175 7 -0,39 0,33 -0,150 0,129 0,279 6,97 0,00
5 175 180 4 0,33 1,04 0,129 0,351 0,223 5,57 0,44
6 180 185 4 1,04 1,76 0,351 0,461 0,109 2,73 0,59
7 185 190 1 1,76 2,47 0,461 0,493 0,033 0,82 0,04
25
1,0 25 1,29
Применяем критерий χ2 – Пирсона
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
