Произведено выборочное обследование роста 25 студентов и получены следующие результаты (в см):
Требуется: 1) найти выборочную среднюю; 2) составить интервальное распределение выборки с шагом h=5, взяв за начало первого интервала x0=155;3) построить полигон и гистограмму частот; 4) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α=0,05 гипотезу о том, что случайная величина μ - количественный признак генеральной совокупности – имеет нормальное распределение; 5) найти с надёжностью γ=0,95 доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака генеральной совокупности.
Решение
1) Объём выборки n=25, найдём выборочную среднюю по следующей формуле:
x=1nxi
Тогда:
x=125*159+162,5+164+164,5+165,5+166+168,5+169+169+170,5+171+171+171+173+174,5+174,5+176+176,5+178+179+182+183,5+184+185+188=4325,525=173,02
2) Составим интервальное распределение с шагом h=5, взяв за начало первого интервала x0=155. Границы интервалов разбиения определим по формулам:
a0=x0, ak=ak-1+h
a0=155;a1=160;a2=165;a3=170;a4=175;a5=180;a6=185;a7=190
Тогда интервальное статистическое распределение выглядит так (Таблица 3):
Таблица 3 – Интервальное статистическое распределение.
x [155;160) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190)
nk
1 3 5 7 4 3 2
3) Построим полигон и гистограмму частот (Рисунок 4):
Рисунок 4 – Полигон и гистограмма частот.
4) Составим вспомогательную таблицу для подсчета вероятностей попадания вариант выборки в интервалы разбиения:
pk=F0αk-F0αk-1=Фuk-Фuk-1
uk=ak-xσ, Ф(uk)=12π0uke-x22dx
Таблица 4 – Вспомогательная таблица для подсчета вероятностей.
Границы интервалов uk=ak-xσ
Ф(uk)
pk
a0=155
-2,41 0,4918 0,0327
a1=160
-1,74 0,4591 0,1014
a2=165
-1,07 0,3577 0,2023
a3=170
-0,4 0,1554 0,0528
a4=175
0,26 0,1026 0,2212
a5=180
0,93 0,3238 0,1214
a6=185
1,60 0,4452 0,0429
a7=190
2,27 0,4881
Теперь вычисляем наблюдаемое значение критерия:
Xнабл2=k=17nk-npk2npk
Таблица 5 – Расчёт наблюдаемого значения критерия.
Границы интервалов Эмпирические частоты
nk
Вероятности
pk
Теоретические частоты npk
Отклонения
nk-npk
nk-npk2npk
[155;160) 1 0,0327 0,04 0,04 0,04
[160;165) 3 0,1014 0,3 0,26 0,225
[165;170) 5 0,2023 1,01 0,71 0,5
[170;175) 7 0,0528 0,37 -0,64 1,107
[175;180) 4 0,2212 0,88 0,51 0,296
[180;185) 3 0,1214 0,36 -0,52 0,751
[185;190) 2 0,0429 0,09 -0,27 0,81
Тогда наблюдаемое значение критерия равно:
Xнабл2=k=17nk-npk2npk=0,04+0,225+0,5+1,107+0,296+0,751+0,81=3,729
Определим число степеней свободы:
s=l-r-1=7-1-1=5
Тогда по таблице находим, что:
Xкр2=11,07
Так как:
Xнабл2=3,729<Xкр2=11,07
, то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу, то есть количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение.
5) Для построения доверительного интервала воспользуемся формулой:
x-∆≤Mμ≤x+∆
∆=t1+γ2*σn
Найдём значение квантили t:
Фt1+γ2=γ2→t1+γ2=Ф-1γ2
Фt1+γ2=0,952=0,475→t1+γ2=1,96
Тогда:
∆=t1+γ2*σn=1,96*7,4925=1,96*1,498=2,936
Значит, искомый доверительный интервал выглядит так:
173,02-2,936≤Mμ≤173,02+2,936
170,08≤Mμ≤175,96
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
