Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах

Выполним проверку того, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим следующее равенство:
∂P∂y=∂Q∂x
∂P∂y=(y ch x+sh y)y'=ch x+ch y
∂Q∂x=(x ch y+sh x)x'=ch y+ch x
Так как данное равенство выполнилось, данное уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах . Поэтому оно записано в следующем виде:
∂F∂xdx+∂F∂ydy=0
∂F∂x=y ch x+sh y
∂F∂y=x ch y+sh x
Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить общий интеграл F(x;y)=0.
Далее найдём функцию F:
F=(y ch x+sh y)dx=y sh x+x sh y+φ(y)
Далее продифференцируем полученный результат по y:
∂F∂y=(y sh x+x sh y+φy)y'=sh x+x ch y+φy'(y)
Приравняем с изначальной частной производной:
sh x+x ch y+φy'y=x ch y+sh x
φy'y=0
φy=0dy=C
Подставим полученное значение в функцию F и получим общий интеграл данного уравнения:
y sh x+x sh y=C