Проинтегрировать уравнение, допускающее понижение порядка: y''-1xy'=x2

В данном уравнении в явном виде отсутствует переменная y, чтобы его решить, сделаем следующую замену:
y'=z
Тогда:
y''=z'
Получаем:
z'-zx=x2
Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка, решаем его с помощью замен:
z=uv, z'=u'v+uv'
Тогда:
u'v+uv'-uvx=x2
u'v+uv'-vx=x2
Получаем систему уравнений:
v'-vx=0u'v=x2
Решаем первое уравнение системы:
v'-vx=0
v'=vx
dvv=dxx
lnv=lnx
v=x
Теперь подставим полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
u'x=x2
u'=x
du=xdx
u=x22+C1
Сделаем обратную замену:
z=uv=x*x22+C1=x32+C1x
Теперь сделаем ещё одну обратную замену:
z=y'=x32+C1x
Восстановим функцию интегрированием:
y=(x32+C1x)dx=x48+C1x22+C2