Прогнозирование по однофакторным регрессионным моделям

Представим исходные данные таблицы 4.11 в соответствии с вариантом (α=114) в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Период Y X
1 10 0,5
2 12 1,2
3 12,425 2,8
4 14,14 3,14
Для построения однофакторной линейной модели типа y=a+bx, необходимо определить ее параметры. Для этого построим вспомогательную таблицу 3.2.
Таблица 3.2
Период Y X Х2 Х*Y Y2
1 10 0,5 0,25 5 100
2 12 1,2 1,44 14,4 144
3 12,425 2,8 7,84 34,79 154,381
4 14,14 3,14 9,8596 44,3996 199,94
Итого 48,565 7,64 19,3896 98,5896 598,3202
17208562103000Составим и решим систему нормальных уравнений, для нахождения параметров уравнения регрессии.
23749011430004a + 7,64b = 48,565
7,64a + 19,3896b = 98,5896
Для решения системы умножим каждое значение первого уравнения на 1,91 и получим:
23749011430007,64a + 14,5924b = 92,75915
7,64a + 19,3896b = 98,5896
Далее путем вычитания первого уравнения из второго получим:
-4,7972b = -5,83045
b = 1,215
Подставим значение b в любое уравнение и найдем параметр а:
4a + 7,64*1,215 = 48,565
4a= 39,2824
a= 9,821
Однофакторная линейная модель примет вид: у = 9,821 + 1,215*х.
Экономическая интерпретация, полученной модели: при увеличении фактора х на 1 единицу своего измерения результативный признак Y увеличится на 1,215 единиц своего измерения.
Для того чтобы выполнить прогноз по данной модели, необходимо проверить ее качество.
Качество регрессионной модели считается высоким, если:
коэффициент детерминации больше или равен 0,5;
средняя ошибка аппроксимации менее или равна 10%;
Fтабл<Fфакт.
Найдем перечисленные показатели.
Для нахождения коэффициента детерминации необходимо знать коэффициент корреляции, который определим по формуле:
Rxy=4*98,5896-7,64*48,5654*19,3896-7,642*(4*598,3202-(48,565)2=0,904
Следовательно, связь между Y и Х прямая, т . к. Rxy> 0, а теснота связи весьма высокая (по шкале Чеддока).
Коэффициент детерминации равен R2xy = (0,904)2 = 0,82 (82%). Следовательно, 82 % изменений результативного признака Y объясняется изменением фактора Х.
В нашем случае коэффициент детерминации больше 0,5, следовательно, первое условие, определяющие высокое качество модели выполнилось.
Для расчета средней ошибки аппроксимации построим вспомогательную таблицу 3.3.
Таблица 3.3
Период Y X у = 9,821 + 1,215*х (Y - у) / Y |(Y - у) / Y|
1 10 0,5 10,4285 -0,04285 0,04285
2 12 1,2 11,279 0,060083333 0,060083333
3 12,425 2,8 13,223 -0,064225352 0,064225352
4 14,14 3,14 13,6361 0,035636492 0,035636492
Итого 48,565 7,64 48,5666 - 0,202795178
Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:
А=1/4*0,202795178*100=5,07%
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 5,07%