Продажа удобрений (в тыс. тонн) составила:
Годы Кварталы
I II III IV
1 60 58 20 44
2 72 60 30 45
3 95 65 35 60
Задание.
1. Постройте график временного ряда. Выскажите предположения о структуре уровня ряда и виде его модели.
2. Выявите тенденцию динамического ряда, используя скользящие средние.
3. В предположении существования мультипликативной модели определите значение периодической компоненты для каждого квартала.
4. Проведите аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, устранив влияние периодической составляющей;
5. Постройте модель с фиктивными переменными соответствующей функциональной формы. Определите по ней точечный прогноз ожидаемого значения объема продаж на первый и второй кварталы четвертого года.
Решение
1. График временного ряда представлен на рис. 3.1.
Рис. 3.1. График временного ряда продажи удобрений
Из рис. видно, что продажа удобрений подвержена сезонным колебаниям, в начале каждого года до 3-го квартал объем продаж уменьшается, а в 4-м квартале и в начале следующего года увеличивается. Амплитуда колебаний постепенно увеличивается, поэтому, можно сделать предположение, что данный временной ряд описывается мультипликативной моделью вида:
yt=Tt∙St∙Et,
где yt – исходный уровень ряда; Tt трендовая составляющая; St периодическая составляющая; Et случайная составляющая; t номер момента времени.
2. В рядах с периодической колеблемостью для её устранения можно применить сглаживание с помощью, скользящей средней. Для этого необходимо высказать предположение о периоде колебаний Р, в рассматриваемом ряду он равен 4 кварталам.
Расчет скользящей средней начинают с первых Р уровней ряда, находя их среднее и относя его к середине периода. Далее находят среднее для уровней со второго по (Р+1), затем – с третьего по (Р+2) и т.д. Расчет скользящей средней заканчивают, когда средняя по Р слагаемым включает в себя последний уровень ряда.
Для периода с четным Р середина периода не может быть отнесена к какому-либо моменту времени, поэтому нужно провести процедуру центрирования. Она заключается в нахождении полусуммы соседних скользящих средних и отнесении её к моменту времени между ними.
Полученные скользящие средние и центрированные скользящие средние представлены в графах 4 и 5 таблицы 3.1.
Таблица 3.1
Определение скользящих средних и оценок сезонных компонентов
Период Номер квартала, t Продажа удобрений, тыс. т.
Скользящая средняя за 4 квартала
Центрированная скользящая средняя
ytcc
Оценка сезонной компоненты
Stk=yt/ytcc
1 2 3 4 5 6
1 год 1 кв
1 60 - - -
1 год 2 кв
2 58 45,5 - -
1 год 3 кв
3 20 48,5 47 0,4255
1 год 4 кв
4 44 49 48,75 0,9026
2 год 1 кв
5 72 51,5 50,25 1,4328
2 год 2 кв
6 60 51,75 51,625 1,1622
2 год 3 кв
7 30 57,5 54,625 0,5492
2 год 4 кв
8 45 58,75 58,125 0,7742
3 год 1 кв
9 95 60 59,375 1,6000
3 год 2 кв
10 65 63,75 61,875 1,0505
3 год 3 кв
11 35 - - -
3 год 4 кв
12 60 - - -
Из графы 5 таблицы 3.1 (после выравнивания с помощью скользящей средней) видна устойчивая тенденция роста продажи удобрений.
3
. Выделение периодической составляющей по мультипликативной модели предполагает выполнение следующих действий:
1) расчет деления фактического уровня ряда (yt) и скользящей средней (ytcc):
Stk=yt/ytcc;.
2) усреднение оценки периодической составляющей для каждой точки внутри периода. Обозначим полученные величины Sk;
3) в мультипликативной модели сумма периодических составляющих Sk равна Р:
k=1PSk=4.
Необходимо проверить это свойство для найденных Sk. Если оно выполняется, то оценка периодических составляющих Sk=Sk. В противном случае каждая Sk корректируется на одну и ту же величину, что дает окончательную оценку периодической составляющей:
Sk=Sk/k=1PSkP.
Расчет сезонной компоненты представлен в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Расчет сезонной компоненты
Показатели Год Номера кварталов, i
1 2 3 4
Оценка сезонной компоненты 1 - - 0,4255 0,9026
2 1,4328 1,1622 0,5492 0,7742
3 1,6000 1,0505 - -
Итого
3,0328 2,2127 0,9747 1,6768
Средняя оценка сезонной компоненты
Sk
1,5164 1,1064 0,4874 0,8384
Скорректированное значение сезонной компоненты
Sk
1,5362 1,1208 0,4937 0,8493
Сумма средних значений сезонной компоненты равна:
Sk = 1,5164 + 1,1064 + 0,4874 + 0,8384 = 3,9485
Следовательно, необходимо значения сезонной компоненты необходимо скорректировать на величину: 3,9485 / 4 = 0,9871.
По полученным сезонным оценкам видно, что максимальные продажи удобрений осуществляются в 1-м квартале, их значения в 1,5 превышают трендовые значения. А минимальные продажи приходятся на 3-й квартал, значения которого в 2 раза ниже трендовых.
4. После нахождения периодической составляющей для проведения аналитического выравнивания с помощью уравнения тренда необходимо провести исключение из уровней ряда периодической составляющей. В мультипликативной модели на неё делят исходный уровень ряда. Полученные значения представлены в графе 4 таблицы 3.3.
Вне зависимости от вида модели (аддитивная или мультипликативная), параметры тренда для Yt находят с помощью МНК. Используя опцию «Данные» / «Анализ данных» / «Регрессия» MC Excel определим параметры линейного тренда (рис. 3.2.), который имеет вид:
Yt=38,572+2,510∙t+et
Значения трендовой составляющей модели представлены в графе 5 таблицы 3.3.
Таблица 3.3
Расчет составляющих модели временного ряда
t Sk
/ Sk
Yt=a+b∙t+et
Yt∙St
Et=ytYt∙St
1 2 3 4 5 6 7
1 60 1,5362 39,0578 41,0816 63,1090 0,9507
2 58 1,1208 51,7493 43,5917 48,8571 1,1871
3 20 0,4937 40,5089 46,1018 22,7613 0,8787
4 44 0,8493 51,8069 48,6119 41,2865 1,0657
5 72 1,5362 46,8693 51,1220 78,5329 0,9168
6 60 1,1208 53,5337 53,6322 60,1103 0,9982
7 30 0,4937 60,7634 56,1423 27,7185 1,0823
8 45 0,8493 52,9843 58,6524 49,8139 0,9034
9 95 1,5362 61,8415 61,1625 93,9569 1,0111
10 65 1,1208 57,9949 63,6726 71,3635 0,9108
11 35 0,4937 70,8906 66,1827 32,6756 1,0711
12 60 0,8493 70,6458 68,6928 58,3413 1,0284
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
