Приведите линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных к каноническому виду. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Приведите линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных к каноническому виду

Приведите линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных к каноническому виду .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Приведите линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных к каноническому виду. ∂2u∂x2+8∂2u∂x∂y+16∂2u∂y2+4∂u∂x-16y=0

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

Уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид -16∂2u∂ξ2+∂2u∂η2-16∂u∂ξ+4∂u∂η-16ξ-64η=0 где ξ=y-4x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Определим коэффициенты A(x, y), B(x, y), C(x, y):
А=1, В= 4, С=16
Вычислим выражение B2-AC=42-1*16=0
уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
Запишем уравнение характеристик:
dy2-8dxdy+16dx2=0
dy-4dx2=0
dy=4dx
имеем только одно уравнение характеристик . Найдём его общий интеграл
y-4x=C
Введём характеристические переменные: одну из переменных ( ) вводим как и ранее
ξ=y-4x
а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть
η=x
Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение . Найдем сначала
∂ξ∂x=-4 ∂ξ∂y=1 ∂ξ∂x∂y=0 ∂2ξ∂x2=0 ∂2ξ∂y2=0
∂η∂x=1 ∂η∂y=0 ∂η∂x∂y=0 ∂2η∂x2=0 ∂2η∂y2=0
Получим
∂u∂x=∂u∂ξ∙∂ξ∂x+∂u∂η∙∂η∂x=∂u∂ξ∙-4+∂u∂η∙1=-4∂u∂ξ+∂u∂η
∂u∂y=∂u∂ξ∙∂ξ∂y+∂u∂η∙∂η∂y=∂u∂ξ∙1+∂u∂η∙0=∂u∂ξ
∂2u∂x2=∂2u∂ξ2∙∂ξ∂x2+2∂2u∂ξ∂η∙∂ξ∂x∙∂η∂x+∂2u∂η2∙∂η∂x2+∂u∂ξ∙∂2ξ∂x2+∂u∂η∙∂2η∂x2=
=∂2u∂ξ2∙-42+2∂2u∂ξ∂η∙-4∙1+∂2u∂η2∙12+∂u∂ξ∙0+∂u∂η∙0=
=16∂2u∂ξ2-8∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2
∂2u∂y2=∂2u∂ξ2∙∂ξ∂y2+2∂2u∂ξ∂η∙∂ξ∂y∙∂η∂y+∂2u∂η2∙∂η∂y2+∂u∂ξ∙∂2ξ∂y2+∂u∂η∙∂2η∂y2=
=∂2u∂ξ2∙02+2∂2u∂ξ∂η∙1∙0+∂2u∂η2∙02+∂u∂ξ∙0+∂u∂η∙0=0
∂2u∂x∂y=∂2u∂ξ2∙∂ξ∂x∙∂ξ∂y+∂2u∂ξ∂η∂ξ∂x∙∂η∂y+∂ξ∂y∙∂η∂x+∂2u∂η2∙∂η∂x∙∂η∂y+
+∂u∂ξ∙∂ξ∂x∂y+∂u∂η∙∂η∂x∂y=
=∂2u∂ξ2∙(-4)∙1+∂2u∂ξ∂η-4∙0+1∙1+∂2u∂η2∙1∙0+
+∂u∂ξ∙0+∂u∂η∙0=-4∂2u∂ξ2+∂2u∂ξ∂η
Подставляем в исходное уравнение
16∂2u∂ξ2-8∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2+8-4∂2u∂ξ2+∂2u∂ξ∂η+16∙0+4-4∂u∂ξ+∂u∂η-16ξ+4η=0
16∂2u∂ξ2-8∂2u∂ξ∂η+∂2u∂η2-32∂2u∂ξ2+8∂2u∂ξ∂η-16∂u∂ξ+4∂u∂η-16ξ-64η=0
-16∂2u∂ξ2+∂2u∂η2-16∂u∂ξ+4∂u∂η-16ξ-64η=0
Ответ: Уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу