Приведены данные о годовой производительности труда в расчете на одного рабочего (Y) и энерговооруженности труда (Х) на предприятиях одной отрасли.
Х 6,7 6,9 7,2 7,3 8,4 8,8 9,1 9,8 10,6 10,7 11,1 11,8 12,1 12,4
Y 2,8 2,2 3,0 3,5 3,2 3,7 4,0 4,8 6,0 5,4 5,2 5,4 6,0 9,0
Задания:
Для заданных исходных данных построить поле корреляции – диаграмму зависимости показателя от фактора .
Вычислить коэффициенты выборочной линейной регрессии вручную.
Записать найденное уравнение эмпирической регрессии. Дать интерпретацию коэффициенту b в рамках Вашей задачи. Вычислить по уравнению эмпирической регрессии значения yi=a+bxi, i=1,…,n.
Построить на корреляционном поле прямую выборочной линейной регрессии по точкам yi=a+bxi, i=1,…,n.
Найти величину средней ошибки аппроксимации. Прокомментировать полученное значение.
Вычислить коэффициент детерминации R2 по формуле
R2=1-yi-yi2yi-y2
Используя построенную модель, рассчитать значение зависимой переменной yp при значении фактора x*, на 10% превышающем среднее значение x.
На основании проведенного выше анализа адекватности модели сделать вывод о правдоподобности прогноза.
Используя опцию Excel «Добавить линию тренда», проверить вычисления и построение графика прямой регрессии.
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1.
Строим поле корреляции
Точки на диаграмме сосредоточены вокруг прямой линии, следовательно, можно предположить, что переменные связаны линейной зависимостью.
2.
Уравнение линейной зависимости переменной y от переменной x имеет вид
y =a+bx
Для оценки коэффициентов a и b уравнения регрессии необходимо составить и решить систему нормальных уравнений
na+bxi=yiaxi+bxi2=xiyi
Либо можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
b=xy-x∙yx2-x2
a=y-bx
Проводим вычисления в Excel во вспомогательной таблице
b=46,50-9,49∙4,5993,85-9,492=0,79
a=4,59-0,79*9,49=-2,95
Записываем уравнение регрессии
y =-2,95+0,79*x
3.
Интерпретация коэффициента b в рамках нашей задачи
y – Производительность труда в расчете на одного рабочего
x – Энерговооруженность труда
Коэффициент b=0,79 переменной x показывает, что при увеличении энерговооруженности труда на 1 единицу происходит увеличение производительности труда (в расчете на одного рабочего) в среднем на 0,79 единиц.
Коэффициент a=-2,95 отрицательный и содержательной интерпретации не имеет.
4.
Вычислим по уравнению эмпирической регрессии y =-2,95+0,79*x значения y i
Построим на корреляционном поле прямую выборочной линейной регрессии
По рисунку видно, что линия регрессии хорошо описывает исходные данные.
5.
Для оценки погрешности рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле
A=1n∙yi-yiyi∙100%
A=114∙1,67∙100%=11,93%
Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение A не превышает 10% – 12%.
У нас получилась средняя ошибка аппроксимации A=11,93%, следовательно погрешность модели удовлетворительная
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
