Приближенные вычисления определенных интегралов
Вычислить определенный интеграл при n=24 по соответствующей квадратурной формуле:
№ п/п Прямоугольников Трапеций Симпсона
3.
2. Вычислить интеграл из задания 1 методом трапеций и определить относительную погрешность символьно в пакете Maxima
3. Вычислить численно интеграл из задания 1 при помощи встроенных в Maxima функций.
Решение
1.
По формуле средних прямоугольников
Iср.пр=abfxdx≈hi=0nfxi+h2
fx=xex1+x2; a=0, b=1, h=b-an=124
Оформим вычисления в таблицу:
i
xi
xi+h2
fxi+h2
i
xi
xi+h2
fxi+h2
0 0,00000 0,020833 0,020413 13 0,54167 0,5625 0,404365
1 0,04167 0,0625 0,058934 14 0,58333 0,604167 0,42958
2 0,08333 0,104167 0,09482 15 0,62500 0,645833 0,454811
3 0,12500 0,145833 0,128513 16 0,66667 0,6875 0,480134
4 0,16667 0,1875 0,160385 17 0,70833 0,729167 0,505622
5 0,20833 0,229167 0,190746 18 0,75000 0,770833 0,531342
6 0,25000 0,270833 0,21986 19 0,79167 0,8125 0,557355
7 0,29167 0,3125 0,247952 20 0,83333 0,854167 0,583721
8 0,33333 0,354167 0,275218 21 0,87500 0,895833 0,610495
9 0,37500 0,395833 0,301824 22 0,91667 0,9375 0,637733
10 0,41667 0,4375 0,327919 23 0,95833 0,979167 0,665485
11 0,45833 0,479167 0,353632 24 1,00000
12 0,50000 0,520833 0,37908 Итого
8,619938
Iср.пр=01xexdx1+x2≈124∙8,619938=0,359164
По формуле трапеций
Iтр=abfxdx≈hfx0+fxn2+i=1n-1fxi
fx=x1+x; a=0, b=1, h=b-an=124
Оформим вычисления в таблицу:
i
xi
fxi
i
xi
fxi
0 0,00000 0 13 0,54167 0,351351
1 0,04167 0,04 14 0,58333 0,368421
2 0,08333 0,076923 15 0,62500 0,384615
3 0,12500 0,111111 16 0,66667 0,4
4 0,16667 0,142857 17 0,70833 0,414634
5 0,20833 0,172414 18 0,75000 0,428571
6 0,25000 0,2 19 0,79167 0,44186
7 0,29167 0,225806 20 0,83333 0,454545
8 0,33333 0,25 21 0,87500 0,466667
9 0,37500 0,272727 22 0,91667 0,478261
10 0,41667 0,294118 23 0,95833 0,489362
11 0,45833 0,314286 24 1,00000 0,5
12 0,50000 0,333333 Итого
7,611864
i=1n-1fxi=7.611864-0.5=7.111864
Iтр=01x1+xdx≈1240+0.52+7.111864=0.306744
По формуле Симпсона:
abfxdx≈h3fx0+4fx1+…+fx2k+1+2(fx2+…+fx2k)+fxn
fx=2x1+x2; a=0, b=2, h=b-an=112
Оформим вычисления в таблицу:
i
xi
fx2k+1
fx2k
i
xi
fx2k+1
fx2k
0 0,00000
0 13 1,08333 0,996805
1 0,08333 0,165517
14 1,16667
0,988235
2 0,16667
0,324324 15 1,25000 0,97561
3 0,25000 0,470588
16 1,33333
0,96
4 0,33333
0,6 17 1,41667 0,942263
5 0,41667 0,710059
18 1,50000
0,923077
6 0,50000
0,8 19 1,58333 0,90297
7 0,58333 0,870466
20 1,66667
0,882353
8 0,66667
0,923077 21 1,75000 0,861538
9 0,75000 0,96
22 1,83333
0,840764
10 0,83333
0,983607 23 1,91667 0,820208
11 0,91667 0,996226
24 2,00000
0,8
12 1,00000
1 Итого
9,672252 10,02544
IСимп=022x1+x2dx≈112∙30+4∙9.672252+2∙10.02544-0.8+0.8=
=1.609441
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
