При многократном измерении диаметра вала микрометром получено 32 значения. Результаты измерения указаны в таблице 1.
Определить:
Построить вариационный ряд и провести его статистическую обработку:
рассчитать средний арифметический диаметр и среднее квадратическое отклонение вариационного ряда;
проверить вариационный ряд на наличие грубых погрешностей;
определить результаты измерения и границы доверительного интервала с вероятностью Р=0,95;
построить гистограмму и полигон распределительного ряда;
проверить совпадение распределения размеров нормальному закону случайных величин.
Таблица 1 – Результаты измерения
73,71 74,99 74,69 76,37
74,60 74,03 73,26 75,60
76,07 74,55 73,46 75,14
76,31 75,31 74,54 74,66
71,72 75,71 75,36 75,05
76,27 77,72 74,96 77,45
75,32 76,33 73,26 75,18
75,23 73,73 76,14 74,49
Решение
Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом.
Исходная совокупность состоит из 32 единиц – значений диаметра вала, измеренных микрометром.
Ранжируем заданный ряд в порядке возрастания:
Таблица 2 – Вариационный ряд
71,72 73,26 73,26 73,46 73,71 73,73 74,03 74,49
74,54 74,55 74,6 74,66 74,69 74,96 74,99 75,05
75,14 75,18 75,23 75,31 75,32 75,36 75,60 75,71
76,07 76,14 76,27 76,31 76,33 76,37 77,45 77,72
Вычислим среднее арифметическое результатов измерений диаметра вала:
xср=1ni=1nxi=132i=132xi
i=1nxi=i=132xi=2401,21
xср=132∙2401,21=75,0378125≈75,04
Результаты 32 измерений диаметра, отклонения результатов отдельных измерений от их среднего арифметического значения, квадратичные отклонения сведем в таблицу 3:
Таблица 3 – Расчет показателей
№ xi xi-xср (xi-xср)2 № xi xi-xср (xi-xср)2
1 73,71 -1,33 1,7689 17 74,69 -0,35 0,1225
2 74,6 -0,44 0,1936 18 73,26 -1,78 3,1684
3 76,07 1,03 1,0609 19 73,46 -1,58 2,4964
4 76,31 1,27 1,6129 20 74,54 -0,5 0,25
5 71,72 -3,32 11,0224 21 75,36 0,32 0,1024
6 76,27 1,23 1,5129 22 74,96 -0,08 0,0064
7 75,32 0,28 0,0784 23 73,26 -1,78 3,1684
8 75,23 0,19 0,0361 24 76,14 1,1 1,21
9 74,99 -0,05 0,0025 25 76,37 1,33 1,7689
10 74,03 -1,01 1,0201 26 75,60 0,56 0,3136
11 74,55 -0,49 0,2401 27 75,14 0,1 0,01
12 75,31 0,27 0,0729 28 74,66 -0,38 0,1444
13 75,71 0,67 0,4489 29 75,05 0,01 0,0001
14 77,72 2,68 7,1824 30 77,45 2,41 5,8081
15 76,33 1,29 1,6641 31 75,18 0,14 0,0196
16 73,73 -1,31 1,7161 32 74,49 -0,55 0,3025
xср=75,04
∑=48,5249
Дисперсия характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего - смещенная оценка).
Оценку дисперсии по результатам измерений можно найти по формуле:
Dx=S2x=i=1nxср-xi2n-1
Dx=48,524932-1=1,565319≈1,565
Среднее квадратическое отклонение (x):
σx=Dx=1,565319=1,251127≈1,251
Грубая погрешность, или промах, – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
При однократных измерениях обнаружить промах невозможно.
При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, такие как критерий Романовского, критерий Шарлье, «трех сигм», критерий Диксона.
Так как число измерений больше 20, проверим вариационный ряд на наличие грубых погрешностей с помощью критерия «трех сигм», предполагая, что величины распределены по нормальному закону:
∆м=3∙σx=3∙1,251=3,753
В силу того, что все разности |xi-xср| не превышают величины максимальной погрешности, принятой для нормального закона распределения, делаем вывод об отсутствии в исходном ряду данных, содержащих грубые погрешности.
Определим границы требуемого доверительного интервала с помощью таблиц распределения Стьюдента
. Для этого предварительно рассчитаем среднюю квадратическую абсолютную погрешность результата многократных измерений:
σx=σn=1,25132=1,2515,656854≈0,221
Далее интерполяционно определяем соответствующий коэффициент Стьюдента. При числе степеней свободы v=n-1=32-1=31 получаем значение доверительной вероятности:
t0,95;31=2,03951344≈2,0395
Имеем относительный доверительный интервал:
t0,96;31=εσx,
откуда и определяем:
ε=t0,96;31∙σx=2,0395∙0,221=0,45073≈0,45
Соответствующие границы доверительного интервала:
xв=xcр+ ε=75,04+0,45=75,49;
x=xcр- ε=75,04-0,45=74,59 м.
Тогда искомый доверительный интервал для результата измерения при доверительной вероятности Рдов=0,95:
74,59<x<75,49
x=xcр± ε=75,04±0,45
По формуле Стерджеса определим необходимое количество используемых групп:
k=1+2∙n
k=1+2∙32=5,901291≈6
xmax – 77,72; xmin – 71,72.
Вычислим величину равного интервала:
i=xmax-xmink
i=77,72-71,726=1
Расчленим исходную совокупность из 32 единиц – значений диаметра вала, измеренных микрометром на 6 групп с величиной интервала в 1.
Результаты группировки представим в таблице 4.
Таблица 4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
