При изучении покупательского спроса произведено 10%-е выборочное обследование продажи игрушек. При случайном способе отбора получены данные распределения игрушек по возрастному признаку.
Возраст До 3 лет 3–6 6–9 9–12 12–15 Свыше 15
Количество игрушек 140 165 180 160 120 135
Определить: с вероятностью 0.954 возможные пределы значений доли продажи игрушек для детей от 3 до 15 лет; с вероятностью 0.997 возможные пределы значения среднего возраста детей.
Вычислить показатели центра, формы распределения, показатели вариации. Изобразить ряд графически. Сделать выводы.
Решение
Определим средний возраст и дисперсию.
Чтобы вычислить средний возраст необходимо: рассчитать середину интервала по каждой группе, например, для второго интервала и т.д.
Величина открытого интервала 1 группы равна величине интервала последующей группы, а именно величина интервала второй группы 3, соответственно границы интервала первой группы считаем от 0 до 3, то есть середина – 1,5. Аналогично рассчитаем интервал последнего открытого интервала: размер интервала предпоследней группы – 3, тогда последний интервал считаем от 15 до 18.
Расчетные данные для определения средней величины и дисперсии отражены в таблице 1.
Средний возраст находим по формуле средней арифметической взвешенной:
x =
x=140∙1,5+165∙4,5+180∙7,5+160∙10,5+120∙13,5+135∙16,5140+165+180+160+120+135=7830900=8,7 лет.
Таблица 1– Расчетные данные для определения средней величины и показателей вариации
Возраст Количество игрушек
fi
Середина интервала
xi
x ifi
x-x
x-x ̅²
x-x ̅²f
до 3 140 1,5 210 7,2 51,84 7257,6
3 – 6 165 4,5 742,5 4,2 17,64 2910,6
6 – 9 180 7,5 1350 1,2 1,44 259,2
9 – 12 160 10,5 1680 1,8 3,24 518,4
12 – 15 120 13,5 1620 4,8 23,04 2764,8
Свыше 15 135 16,5 2227,5 7,8 60,84 8213,4
Итого 900 Х 7830 Х Х 21924
Дисперсия (средний квадрат отклонений) определяется по формуле:
σ2=x-x ̅²f f
Расчет показателей в числителе формулы производим следующим образом:
x-x
x-x ̅²
x-x ̅²f
1,5-8,7 =7,2 7,2²=51,84 51,84·140=7257,6
4,5-8,7 =4,2 4,2²=17,64 17,64·165=2910,6
7,5-8,7 =1,2 1,2²=1,44 1,44·180=259,2
И т.д.
Расчеты отражены в таблице 1.
Определим дисперсию.
σ2=x-x ̅²f f =21924900= 24,36.
Среднее квадратическое отклонение:
σ=x-x ̅²f f =21924900= 4,936.
Коэффициент вариации определяется по формуле:
Vσ=4,9368,7·100=56,7%.
Коэффициент вариации 56,7%, что больше 33%, свидетельствует о неоднородности совокупности игрушек для детей по возрасту, а средний возраст 8,7 лет считается не типичным для данной совокупности.
Определим с вероятностью 0,954 возможные пределы значений доли продажи игрушек для детей от 3 до 15 лет;
Удельный вес продажи игрушек для детей от 3 до 15 лет в выборочной совокупности составляет:
w=mn=140+165+180+160+120900=765900=0,85 (85,0%)
где m - число единиц, обладающих изучаемым признаком;
n – численность выборки.
Средняя ошибка выборочной доли срока службы станков:
μw=w(1-w)n=0,85 (1-0,85)900=0,012.
Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент t=2) составит
∆w=μwt = 0,012∙2=0,024 (2,4%)
85,0-2,4≤p≤85,0+2,4
82,6≤p≤87,4
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что удельный вес продажи игрушек для детей от 3 до 15 лет в выборочной совокупности колеблется в пределах от 82,6 до 87,4%.
С вероятностью 0,997 определим возможные пределы значения среднего возраста детей.
Средняя ошибка возраста детей в выборке определяется по формуле:
где n – численность выборки;
N – численность генеральной совокупности;
σx2 – дисперсия признака x.
Численность выборки составляет 900 игрушек, то есть n=900.
Численность генеральной совокупности составляет при 10% выборке: 900:0,1=9000 шт., то есть N=9000.
Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента t=3.
Тогда предельная ошибка выборочной средней
∆x=μxt=0,05∙3=0,2 лет.
Значение генеральной средней определяется
x=x∓∆x; x=8,7∓0,2
Границы, в которых находится средний возраст:
8,7-0,2≤х ≤8,7+0,2
8,5≤х ≤8,9
С вероятностью 99,7% можно утверждать, что в продажах игрушек для детей, средний возраст которых во всей совокупности колеблется от 8,5 до 8,9 лет
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
