При исследовании влияния доли примесей на процент брака готовой продукции в химическом производстве были получены следующие результаты

X/y 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 Итого
0-2
1 4 5 5 4 19
2-4 1 5 8 4 3 3 24
4-6 5 20 10 3 1 2 41
6-8 20 15 80 2 1 1 119
8-10 5 2
7
Итого 31 43 102 14 10 10 210
Находим групповые средние по формулам:
хj=i=15xinijnj;yj=i=16yinijni
xi, yi - середины соответствующих интервалов.
xj=[1, 3, 5, 7, 9]
yj=[0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5]
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
yx=rxyx-xσxσy+y
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид: 
xy=rxyy-yσyσx+x Выборочные средние: 
x= (1*(1 + 4 + 5 + 5 + 4) + 3*(1 + 5 + 8 + 4 + 3 + 3) + 5*(5 + 20 + 10 + 3 + 1 + 2) + 7*(20 + 15 + 80 + 2 + 1 + 1) + 9*(5 + 2))/210 = 5.676 
y= (0.5*(1 + 5 + 20 + 5) + 1.5*(1 + 5 + 20 + 15 + 2) + 2.5*(4 + 8 + 10 + 80) + 3.5*(5 + 4 + 3 + 2) + 4.5*(5 + 3 + 1 + 1) + 5.5*(4 + 3 + 2 + 1))/210 = 2.305 
Дисперсии: 
σ2x = (12(1 + 4 + 5 + 5 + 4) + 32(1 + 5 + 8 + 4 + 3 + 3) + 52(5 + 20 + 10 + 3 + 1 + 2) + 72(20 + 15 + 80 + 2 + 1 + 1) + 92(5 + 2))/210 - 5.6762 = 4.25 
σ2y = (0.52(1 + 5 + 20 + 5) + 1.52(1 + 5 + 20 + 15 + 2) + 2.52(4 + 8 + 10 + 80) + 3.52(5 + 4 + 3 + 2) + 4.52(5 + 3 + 1 + 1) + 5.52(4 + 3 + 2 + 1))/210 - 2.3052 = 1.44 
Откуда получаем среднеквадратические отклонения: 
σx = 2.061 и σy = 1.201 и ковариация: 
Cov(x,y) = (3*0.5*1 + 5*0.5*5 + 7*0.5*20 + 9*0.5*5 + 1*1.5*1 + 3*1.5*5 + 5*1.5*20 + 7*1.5*15 + 9*1.5*2 + 1*2.5*4 + 3*2.5*8 + 5*2.5*10 + 7*2.5*80 + 1*3.5*5 + 3*3.5*4 + 5*3.5*3 + 7*3.5*2 + 1*4.5*5 + 3*4.5*3 + 5*4.5*1 + 7*4.5*1 + 1*5.5*4 + 3*5.5*3 + 5*5.5*2 + 7*5.5*1)/210 - 5.676*2.305 = -1.16 
Определим коэффициент корреляции: 
rxy=covx,yσxσy
rxy=-1.162.061*1.201=-0.4698
Запишем уравнения линий регрессии y(x): 
yx=-0.4698x-5.6762.0611.201+2.305и вычисляя, получаем: 
yx = -0.27 x + 3.86 
Запишем уравнения линий регрессии x(y): 
xy=-0.4698y-2.3051.2012.061+5.676и вычисляя, получаем: 
xy = -0.81 y + 7.53 
Построив точки, определяемые таблицей и линии регрессии, видим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.676; 2.305) и точки расположены близко к линиям регрессии. 
Значимость коэффициента корреляции. 
t=rxyn-21-rxy2=-0.472081-0.472=7.68По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.001 и степенями свободы k=210-m-1 = 208 находим tкрит:  tкрит (n-m-1;α/2) = (208;0.0025) = 0  где m = 1 - количество объясняющих переменных. 
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). 
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции