При исследовании нового прибора сделано сорок пять измерений величин, точные (истинные) значения которых были известны. В таблице помещены истинные ошибки результатов измерений. Выполнить исследование на нормальный закон распределения данного ряда истинных ошибок Δi.
Таблица 3.
№ п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм
1 +12,6 11 –2,6 21 +4,8 31 7.9 41 +18,8
2 –1,8 12 –19,4 22 +9,0 32 1.5 42 –8,9
3 –7,8 13 –2,5 23 –4,9 33 18.7 43 –6,4
4 +3,2 14 +4,9 24 –7,7 34 0.1 44 –8,9
5 +9,4 15 –0,5 25 –18,2 35
45 +11,9
6 –1,5 16 –8,4 26 +2,8 36 6.4 46 +13,4
7 +20,9 17 –21,9 27 +7,6 37
47 –18,0
8 –4,0 18 +8,7 28 –20,8 38
48 +10,2
9 +3,5 19 –10,1 29 6,8 39
49 +11,4
10 +1,9 20 –4,1 30 +4,2 40
50 –0,6
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Выполним ряд вычислений необходимых для дальнейших исследований в таблице 4
Таблица 4.
Предварительные вычисления
№ п/п Δi, мм |Δ| Δi2 Δi3 Δi4
1 12.60 12.6 158.76 2000.38 25204.74
2 -1.80 1.8 3.24 -5.83 10.50
3 -7.80 7.8 60.84 -474.55 3701.51
4 3.20 3.2 10.24 32.77 104.86
5 9.40 9.4 88.36 830.58 7807.49
6 -1.50 1.5 2.25 -3.38 5.06
7 20.90 20.9 436.81 9129.33 190802.98
8 -4.00 4 16.00 -64.00 256.00
9 3.50 3.5 12.25 42.88 150.06
10 1.90 1.9 3.61 6.86 13.03
11 -2.60 2.6 6.76 -17.58 45.70
12 -19.40 19.4 376.36 -7301.38 141646.85
13 -2.50 2.5 6.25 -15.63 39.06
14 4.90 4.9 24.01 117.65 576.48
15 -0.50 0.5 0.25 -0.13 0.06
16 -8.40 8.4 70.56 -592.70 4978.71
17 -21.90 21.9 479.61 -10503.46 230025.75
18 8.70 8.7 75.69 658.50 5728.98
19 -10.10 10.1 102.01 -1030.30 10406.04
20 -4.10 4.1 16.81 -68.92 282.58
21 4.80 4.8 23.04 110.59 530.84
22 9.00 9 81.00 729.00 6561.00
23 -4.90 4.9 24.01 -117.65 576.48
24 -7.70 7.7 59.29 -456.53 3515.30
25 -18.20 18.2 331.24 -6028.57 109719.94
26 2.80 2.8 7.84 21.95 61.47
27 7.60 7.6 57.76 438.98 3336.22
28 -20.80 20.8 432.64 -8998.91 187177.37
29 6.80 6.8 46.24 314.43 2138.14
30 4.20 4.2 17.64 74.09 311.17
31 7.90 7.9 62.41 493.04 3895.01
32 1.50 1.5 2.25 3.38 5.06
33 18.70 18.7 349.69 6539.20 122283.10
34 0.10 0.1 0.01 0.00 0.00
35 6.40 6.4 40.96 262.14 1677.72
36 18.80 18.8 353.44 6644.67 124919.83
37 -8.90 8.9 79.21 -704.97 6274.22
38 -6.40 6.4 40.96 -262.14 1677.72
39 -8.90 8.9 79.21 -704.97 6274.22
40 11.90 11.9 141.61 1685.16 20053.39
41 13.40 13.4 179.56 2406.10 32241.79
42 -18.00 18 324.00 -5832.00 104976.00
43 10.20 10.2 104.04 1061.21 10824.32
44 11.40 11.4 129.96 1481.54 16889.60
45 -0.60 0.6 0.36 -0.22 0.13
Σ 21.6 379.6 4919.04 -8099.38 1387706.49
[Δ>0] 200.6
[Δ<0] -179.0
1) Вычисление оценок параметров нормального распределения MΔ, σΔ:
MΔ*=[Δ]n=21.645=0.48 мм
σΔ*=m=∆2n=4919.0445=10.45 мм
Оценка математического ожидания MΔ* отличается от нуля
. Применим для обнаружения постоянной систематической ошибки следующий критерий
|MΔ* |≤t ·σΔ* /n
где t выбирается из таблиц Приложения B (при n >30) по вероятности (β=Ф(t)). Находим для β=0,95 t=1,96
t ·σΔ* /n = 1.96 ·10.45 /45=3.05 мм
Как видно из результатов вычислений, критерий выполняется, так как имеет место неравенство
|MΔ*|≤3.05 мм
следовательно, постоянной систематической ошибкой можно пренебречь и считать, что MΔ* = 0 .
2).Вычисление средней ошибки ϑ* и коэффициента . k1практ :
ϑ*=[∆]n=379.645=8.44 мм
k1практ=mϑ*=10.458.44=1.24 k1теор=1.25
3) Определение вероятной ошибки r* и коэффициента k2практ
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:
0.1 0.5, 0.6, 1.5, 1.5 1.8, 1,9, 2.5, 2.6, 2.8, 3.2, 3.5, 4.0, 4.1, 4.2, 4.8, 4.9, 4.9, 6.4, 6.4, 6.8, 7.6, 7.7
7.8, 7.9 8.4, 8.7, 8.9, 8.9 9.0, 9.4, 10.1, 10.2, 11.4, 11.9, 12.6, 13.4, 18.0, 18.2, 18.7 18.8, 19.4, 20.8, 20.9, 21.9
Находим
r*=|Δ|23=7.7 мм
k2практ=mr*=10.457.7=1.36 k2теор=1.48
4).Построение статистического группированного ряда.
Распределим погрешности в двенадцати интервалах (длину интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е. 0,5·m =5,23), составим таблицу 5.
Таблица 5.
№ п/п Длины интервалов, в долях Длины интервалов в мм Число ошибок
mi Частоты, Ǫi= mi/n Высоты прямоугольников
hi= Ǫi/(0.5·m)
1 -3.0m -2.5m -31.37 -26.14 0 0.00 0.000
2 -2.5m -2.0m -26.14 -20.91 3 0.07 0.013
3 -2.0m -1.5m -20.91 -15.68 2 0.04 0.009
4 -1.5m -1.0m -15.68 -10.46 1 0.02 0.004
5 -1.0m -0.5m -10.46 -5.23 7 0.16 0.030
6 -0.5m 0.0m -5.23 0 8 0.18 0.034
7 0.0m 0.5m 0 5.23 8 0.18 0.034
8 0.5m 1.0m 5.23 10.46 8 0.18 0.034
9 1.0m 1.5m 10.46 15.68 5 0.11 0.021
10 1.5m 2.0m 15.68 20.91 2 0.04 0.009
11 2.0m 2.5m 20.91 26.14 1 0.02 0.004
12 2.5m 3.0m 26.14 31.37 0 0.00 0.000
Σ 45 1.00
5). Построение гистограммы и выравнивающей её кривой плотности нормального распределения.
По данным таблицы 5 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
