При исследовании нового прибора сделано пятьдесят измерений величин, точные (истинные) значения которых были известны. В таблице помещены истинные ошибки результатов измерений. Выполнить исследование на нормальный закон распределения данного ряда истинных ошибок Δi.
Таблица 3.
№ п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм № п/п Δi, мм
1 +12,1 11 –2,6 21 +4,7 31 +7,9 41 +18,9
2 –1,0 12 –19,4 22 +9,1 32 +0,5 42 –8,6
3 –7,1 13 –0,5 23 –4,8 33 +18,2 43 –6,8
4 +3,2 14 +4,9 24 –17,9 34 +0,1 44 –7,9
5 +9,1 15 –0,5 25 –18,0 35 –13,5 45 +11,9
6 –1,5 16 –8,4 26 +2,0 36 +6,4 46 +13,2
7 +0,1 17 –7,9 27 +7,7 37 +2,6 47 +17,9
8 –4,0 18 +8,7 28 –13,3 38 +15,8 48 +10,1
9 +3,8 19 –10,1 29 +6,3 39 –7,1 49 +12,4
10 +1,2 20 –4,1 30 +4,2 40 –5,7 50 –0,2
Решение
Выполним ряд вычислений необходимых для дальнейших исследований в таблице 4
Таблица 4.
Предварительные вычисления
№ п/п Δi, мм |Δ| Δi2 Δi3 Δi4
1 12,1 12,1 146,41 1771,56 21435,89
2 -1 1 1,00 -1,00 1,00
3 -7,1 7,1 50,41 -357,91 2541,17
4 3,2 3,2 10,24 32,77 104,86
5 9,1 9,1 82,81 753,57 6857,50
6 -1,5 1,5 2,25 -3,38 5,06
7 0,1 0,1 0,01 0,00 0,00
8 -4 4 16,00 -64,00 256,00
9 3,8 3,8 14,44 54,87 208,51
11 -2,6 2,6 6,76 -17,58 45,70
12 -19,4 19,4 376,36 -7301,38 141646,85
13 -0,5 0,5 0,25 -0,13 0,06
14 4,9 4,9 24,01 117,65 576,48
15 -0,5 0,5 0,25 -0,13 0,06
16 -8,4 8,4 70,56 -592,70 4978,71
17 -7,9 7,9 62,41 -493,04 3895,01
18 8,7 8,7 75,69 658,50 5728,98
19 -10,1 10,1 102,01 -1030,30 10406,04
21 4,7 4,7 22,09 103,82 487,97
22 9,1 9,1 82,81 753,57 6857,50
23 -4,8 4,8 23,04 -110,59 530,84
24 -17,9 17,9 320,41 -5735,34 102662,57
25 -18 18 324,00 -5832,00 104976,00
26 2 2 4,00 8,00 16,00
27 7,7 7,7 59,29 456,53 3515,30
28 -13,3 13,3 176,89 -2352,64 31290,07
29 6,3 6,3 39,69 250,05 1575,30
31 7,9 7,9 62,41 493,04 3895,01
32 0,5 0,5 0,25 0,13 0,06
33 18,2 18,2 331,24 6028,57 109719,94
34 0,1 0,1 0,01 0,00 0,00
35 -13,5 13,5 182,25 -2460,38 33215,06
36 6,4 6,4 40,96 262,14 1677,72
37 2,6 2,6 6,76 17,58 45,70
38 15,8 15,8 249,64 3944,31 62320,13
39 -7,1 7,1 50,41 -357,91 2541,17
41 18,9 18,9 357,21 6751,27 127598,98
42 -8,6 8,6 73,96 -636,06 5470,08
43 -6,8 6,8 46,24 -314,43 2138,14
44 -7,9 7,9 62,41 -493,04 3895,01
45 11,9 11,9 141,61 1685,16 20053,39
46 13,2 13,2 174,24 2299,97 30359,58
47 17,9 17,9 320,41 5735,34 102662,57
48 10,1 10,1 102,01 1030,30 10406,04
49 12,4 12,4 153,76 1906,62 23642,14
Σ 46.7 368,5 4449,87 6961,40 990240,14
[Δ>0] 207,6
[Δ<0] -160,9
[Δ>0]= + 207.6, [Δ<0]= - 160,9, [Δ]= + 46.7, [|Δ|]=368.5, [Δ2]=4449.87
[Δ3]=6961.40, [Δ4]=990240.14
1) Вычисление оценок параметров нормального распределения MΔ, σΔ:
MΔ*=[Δ]n=46.745=1.04
σΔ*=m=∆2n=4449.8745=9.94
Оценка математического ожидания MΔ* отличается от нуля
. Применим для обнаружения постоянной систематической ошибки следующий критерий
|MΔ* |≤t ·σΔ* /n
где t выбирается из таблиц Приложения B (при n >30) по вероятности (β=Ф(t)). Находим для β=0,95 t=1,96
t ·σΔ* /n = 1.96 ·9.94 /45=2.90
Как видно из результатов вычислений, критерий выполняется, так как имеет место неравенство
|MΔ* |≤2.90
следовательно, постоянной систематической ошибкой можно пренебречь и считать, что M Δ = 0 .
2) Вычисление средней ошибки ϑ* и коэффициента . k1практ :
ϑ*=[∆]n=368.545=8.19
k1практ=mϑ*=9.948.19=1.21 k1теор=1.25
3) Определение вероятной ошибки r* и коэффициента k2практ
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:
0,1 0,1 0,5 0,5 0,5 1 1,5 2 2,6 2,6 3,2 3,8 4 4,7 4,8 4,9 6,3 6,4 6,8 7,1 7,1 7,7 7,9 7,9 7,9 8,4 8,6 8,7 9,1 9,1 10,1 10,1 11,9 12,1 12,4 13,2 13,3 13,5 15,8 17,9 17,9 18 18,2 18,9 19,4
Находим
r*=|Δ|23=7.9
k2практ=mr*=9.947.9=1.40 k2теор=1.48
4).Построение статистического группированного ряда.
Распределим погрешности в двенадцати интервалах (длину интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е. 0,5·m =4,97), составим таблицу 5.
Таблица 5.
№ п/п Длины интервалов, в долях Длины интервалов в секундах Число ошибок
mi Частоты, Ǫi= mi/n Высоты прямоугольников
hi= Ǫi/(0.5·m)
1 -3.0m -2.5m -29,83 -24,86 0 0,00 0,00
2 -2.5m -2.0m -24,86 -19,89 0 0,00 0,00
3 -2.0m -1.5m -19,89 -14,92 3 0,07 1,33
4 -1.5m -1.0m -14,92 -9,94 3 0,07 1,33
5 -1.0m -0.5m -9,94 -4,97 7 0,16 3,09
6 -0.5m 0.0m -4,97 0 7 0,16 3,09
7 0.0m 0.5m 0 4,97 9 0,20 3,98
8 0.5m 1.0m 4,97 9,94 7 0,16 3,09
9 1.0m 1.5m 9,94 14,92 5 0,11 2,21
10 1.5m 2.0m 14,92 19,89 4 0,09 1,77
11 2.0m 2.5m 19,89 24,86 0 0,00 0,00
12 2.5m 3.0m 24,86 29,83 0 0,00 0,00
Σ 45 1.00
5). Построение гистограммы и выравнивающей её кривой плотности нормального распределения.
По данным таблицы 5 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
