При 5%-м выборочном обследовании партии поступившего товара установлено, что 320 единиц из обследованных 400 образцов (отобранных по схеме механической выборки) отнесены к стандартной продукции, а распределение образцов выборочной совокупности по весу следующие:
Вес изделия, г. До 3000 3000-3100 3100-3200 3200-3300 Выше 3300
Число образцов, шт. 10 50 180 140 20
По показателям выборочной совокупности установить для всей партии товара:
- с вероятностью 0,954 возможные пределы удельного веса стандартной продукции;
- с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего веса одного изделия.
Вычислить показатели центра распределения веса образцов, показатели вариации, показатели формы распределения. Изобразить ряд графически. Сделать вывод.
Решение
Составим расчетную таблицу.
Вес изделия, г. Число образцов, шт. Середина интервала xi·fi
Накопленная частота, S |x-xср|·fi
(x-xср)2·fi
Относительная частота, fi/f
xi·fi
2900-3000 10 2950 29500 10 2275 517562.5 0.025 29500
3000-3100 50 3050 152500 60 6375 812812.5 0.125 152500
3100-3200 180 3150 567000 240 4950 136125 0.45 567000
3200-3300 140 3250 455000 380 10150 735875 0.35 455000
3300-3400 20 3350 67000 400 3450 595125 0.05 67000
ИТОГО 400
1271000
27200 2797500 1 1271000
Для оценки ряда распределения найдем показатели центра распределения.
Средняя взвешенная (выборочная средняя) рассчитывается по формуле:
x=xff=1271000400=3177,5 г.
Мода рассчитывается по формуле:
Мо=хо+hf2-f1f2-f1+(f2-f3)
где x0 – начало модального интервала;
h – величина интервала;
f2 –частота, соответствующая модальному интервалу;
f1 – предмодальная частота;
f3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 3100, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество. Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Мо=3100+100180-50180-50+(180-140)=3176,5 г.
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 3176,5г.
Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда
. Медианным является интервал 3100 - 3200, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот). Медиана рассчитывается по формуле:
Ме=хо+hfme(fi2-Sme-1)
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
Ме=3100+1001804002-60=3177,6 г.
Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 3177,6 г.
Размах вариации определим по формуле:
R = xmax - xmin = 3400 - 2900 = 500 г.
Среднее линейное отклонение определим по формуле:
d=xi-xfifi=27200400=68
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 68 грамм.
Дисперсия рассчитывается по формуле:
D=(xi-x)2fifi=27975000400=6993,75
Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:
ᵟ=D=6993,75=83,63
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 3177,5 в среднем на 83,63 г.
Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:
V=ᵟx*100%=83,633177,5*100%=2,63%
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая.
Рассчитаем моментный коэффициент асимметрии по формуле:
As = M3/s3
где M3 - центральный момент третьего порядка.
s - среднеквадратическое отклонение.
M3 = -69112500/400 = -1727810,25
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
As=-1727810,2583,633=-0,295
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии.
Эксцесс рассчитаем по формуле:
Ex=M4s4-3
M4 = 61679953125/400 = 154199882,81
Ex=154199882,8183,634-3=0,15
Ex > 0 - островершинное распределение.
На рисунке 1 изобразим ряд графически.
Рисунок 1.
Доверительный интервал для генеральной доли:
(p* - ε ; p* + ε)
ε = tкрp(1-p)n*1-nN
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0,954/2 = 0,477
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,477
tkp(γ) = (0,477) = 2
Доля i-ой группы fi / ∑f
Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε Нижняя граница доли, p* - ε Верхняя граница доли, p* + ε
0,025 ε = 20,025(1-0,025)400*1-8100=0,0075
0,0175 0,0325
0,125 ε = 20,13(1-0,13)400*1-8100=0,0159
0,109 0,141
0,45 ε = 20,45(1-0,45)400*1-8100=0,0239
0,426 0,474
0,35 ε = 20,35(1-0,35)400*1-8100=0,0229
0,327 0,373
0,05 ε = 20,05(1-0,05)400*1-8100=0,0105
0,0395 0,0605
С вероятностью 0,954 при большем объеме выборке эти доли будут находиться в заданных интервалах.
Доверительный интервал для генерального среднего рассчитывается по формуле:
(x-tкрsn1-d100;x+tкрsn1-d100)
где d - процент выборки.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0,975/2 = 0,4875
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,4875
tkp(γ) = (0,4875) = 2,24
Стандартная ошибка выборки для среднего рассчитывается по формуле:
sc=sn*1-d100=83,73400*1-5100=4,08
Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:
ε = tkp sc = 2,24*4,08 = 9,14
Доверительный интервал:
(3177,5 – 9,14;3177,5 + 9,14) = (3168,36;3186,64)
С вероятностью 0,975 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Выводы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
