При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Qi; i [1...24].
Определить результат измерения.
Исходные данные Таблица 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8
Qi 485 484 486 482 483 484 484 481
i 9 10 11 12 13 14 15 16
Qi 485 485 485 492 484 482 481 483
i 17 18 19 20 21 22 23 24
Qi 485 480 481 483 482 483 493 484
Доверительная вероятность Р = 0,95
Решение
Определим среднее значение результата Q и среднее квадратическое отклонения результата измерения SQ
Найдем среднее арифметическое значение измеряемой величины по формуле:
Q= 1n i=1nQi,
где n – число измерений в ряде (объем выборки).
Q= 124 · (485 +484 +486 +482 +483 +484 +484 +481 +485 +485 +485 +492 +484 +482 +481 +483 +485 +480+ 481 +483 +482 +483 +493 +484) =
= 1161724 = 484,04
Среднее квадратичное отклонение:
SQ = i=1n( Qi- Q)2n-1
SQ = (485-484,04)2 +(484 -484,04)2 + (486 -484,04)2 + … (484 -484,04)2 24 - 1
SQ = 212,9623 = 3,04
Обнаружим и исключим ошибки. Для этого необходимо:
– вычислить наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:
ν = Qmin - Q = 480-484,04= 4,04
ν = Qmax - Q = 493-484,04 = 8,96
ν = maxQ23- QSQ = 493-484,043,04 = 2,947
Доверительная вероятность Р = 0,95 и q = 1 – Р = 1 – 0,95 = 0,05, найдем соответствующее теоретическое (Приложение В) значение νq = 2,701.
Сравним ν с νq. Так как ν > νq, то данный результат измерения Q23 является ошибочным, он должен быть отброшен.
После этого необходимо повторить предыдущие вычисления до тех пор, пока не будет выполняться условие ν < νq.
Так как n = 23, то Q= 483,65; SQ = 2,4
ν = Qmin - Q = 480-483,65 = 3,65
ν = Qmax - Q = 492-483,65 = 8,35
ν = maxQ12- QSQ = 492 - 483,652,4 = 3,479
Теоретическое ((Приложение В) значение νq = 2,688 при n = 23. Условие
ν < νq не выполняется, значение Q12 отбрасываем.
Повторим расчеты.
Так как n = 22, то Q= 483,27; SQ = 1,64
ν = Qmin - Q = 480-483,27= 3,27
ν = Qmax - Q = 486-483,27= 2,73
ν = maxQ18- QSQ = 480 -483,27 1,64 = 1,994
Теоретическое (Приложение В) значение νq = 2,664 при n = 22. Условие
ν < νq выполняется, значит все грубые промахи из результатов измерения исключены.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерения используем два критерия. Если хотя бы один из критериев не выполняется, то гипотезу о нормальности распределения отвергают.
Применим критерий 1:
; d = 29,2722 ∙ 56,36 = 0,831
При доверительной вероятностью P1 (рекомендуется принять P1 = 0,98) и для уровня значимости q1 = 1 – Р1 = 1 – 0,98 = 0,02 по соответствующим таблицам (приложение Г) определим квантили распределения d1-0,5ql, и d0,5q1;
d1-0,5q = d0,99 = 0,695;
d0,5q = d0,01 = 0,900.
Сравним d с d1-0,5ql и d0,5q1
. 0,695 < 0,831 < 0,900
Так как d1-0,5q1 < d < d0,5q1, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.
Применим критерий 2:
При доверительной вероятностью Р2 (рекомендуется принять Р2 = 0,98) и для уровня значимости q2 = 1 – Р2 = 1 – 0,98 = 0,02 с учетом n = 22 определим по соответствующим таблицам (приложение Г) значения m и Р*;
m = 2;
P* = 0,97.
Для вероятности Р* из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф(t) определим значение t (приложение Б) и рассчитаем
Е = t ∙ SQ.
t = 2,17;
E = 2,17 ∙ 1,64 = 3,56
Так как не более m = 2 разностей | i - | превосходит Е (согласно таблице 2), то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными, закон можно признать нормальным с вероятностью Р0 (Р1 + Р2 – 1).
Таблица 2
i Qi Qi - Q
1 485 1,73
2 484 0,73
3 486 2,73
4 482 1,27
5 483 0,27
6 484 0,73
7 484 0,73
8 481 2,27
9 485 1,73
10 485 1,73
11 485 1,73
12 484 0,73
13 482 1,27
14 481 2,27
15 483 0,27
16 485 1,73
17 480 3,27
18 481 2,27
19 483 0,27
20
20 482 1,27
21 483 0,27
22 484 0,73
Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение среднего арифметического определяется как:
; S = 1,6422 = 0,35
Определить доверительный интервал.
Если закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р определяется из распределения Стьюдента (приложение Д)
Е = t S,
где t выбирается из соответствующих таблиц
(при этом m = n – 1= 22 – 1 = 21, а = Р= 0,95).
Е = 2,08 · 0,35 = 0,73 ≈ 0,7
Результат измерения равен:
Q = Q ± E; Q = 483,3 ± 0,7
(Р = 0,95, n = 22).
Приложение Б
(справочное)
Интегральная функция нормированного нормального
распределения Ф(t)
Таблица Б.1 – Распределение
2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t
0,6827 1 0,7699 1,2 0,8385 1,4 0,8904 1,6 0,9281 1,8
0,6875 1,01 0,7737 1,21 0,8415 1,41 0,8926 1,61 0,9297 1,81
0,6923 1,02 0,7775 1,22 0,8444 1,42 0,8948 1,62 0,9312 1,82
0,697 1,03 0,7813 1,23 0,8473 1,43 0,8969 1,63 0,9328 1,83
0,7017 1,04 0,785 1,24 0,8501 1,44 0,899 1,64 0,9342 1,84
0,7063 1,05 0,7887 1,25 0,8529 1,45 0,9011 1,65 0,9357 1,85
0,7109 1,06 0,7923 1,26 0,8557 1,46 0,9031 1,66 0,9371 1,86
0,7154 1,07 0,7959 1,27 0,8584 1,47 0,9051 1,67 0,9385 1,87
0,7199 1,08 0,7995 1,28 0,8611 1,48 0,907 1,68 0,9399 1,88
0,7243 1,09 0,8029 1,29 0,8638 1,49 0,909 1,69 0,9412 1,89
0,7287 1,1 0,8064 1,3 0,8664 1,5 0,9109 1,7 0,9426 1,9
0,733 1,11 0,8098 1,31 0,869 1,51 0,9127 1,71 0,9439 1,91
0,7373 1,12 0,8132 1,32 0,8715 1,52 0,9146 1,72 0,9451 1,92
0,7415 1,13 0,8165 1,33 0,874 1,53 0,9164 1,73 0,9464 1,93
0,7457 1,14 0,8198 1,34 0,8764 1,54 0,9181 1,74 0,9476 1,94
0,7499 1,15 0,823 1,35 0,8789 1,55 0,9199 1,75 0,9488 1,95
0,754 1,16 0,8262 1,36 0,8812 1,56 0,9216 1,76 0,95 1,96
0,758 1,17 0,8293 1,37 0,8836 1,57 0,9233 1,77 0,9512 1,97
0,762 1,18 0,8324 1,38 0,8859 1,58 0,9249 1,78 0,9523 1,98
0,766 1,19 0,8355 1,39 0,8882 1,59 0,9265 1,79 0,9534 1,99
2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t 2Ф(t) t
0,9545 2 0,9722 2,2 0,9836 2,4 0,9907 2,6 0,9949 2,8
0,9556 2,01 0,9729 2,21 0,984 2,41 0,9909 2,61 0,995 2,81
0,9566 2,02 0,9736 2,22 0,9845 2,42 0,9912 2,62 0,9952 2,82
0,9576 2,03 0,9743 2,23 0,9849 2,43 0,9915 2,63 0,9953 2,83
0,9586 2,04 0,9749 2,24 0,9853 2,44 0,9917 2,64 0,9955 2,84
0,9596 2,05 0,9756 2,25 0,9857 2,45 0,992 2,65 0,9956 2,85
0,9606 2,06 0,9762 2,26 0,9861 2,46 0,9922 2,66 0,9958 2,86
0,9615 2,07 0,9768 2,27 0,9865 2,47 0,9924 2,67 0,9959 2,87
0,9625 2,08 0,9774 2,28 0,9869 2,48 0,9926 2,68 0,996 2,88
0,9634 2,09 0,978 2,29 0,9872 2,49 0,9929 2,69 0,9961 2,89
0,9643 2,1 0,9786 2,3 0,9876 2,5 0,9931 2,7 0,9963 2,9
0,9651 2,11 0,9791 2,31 0,9879 2,51 0,9933 2,71 0,9964 2,91
0,966 2,12 0,9797 2,32 0,9883 2,52 0,9935 2,72 0,9965 2,92
0,9668 2,13 0,9802 2,33 0,9886 2,53 0,9937 2,73 0,9966 2,93
0,9676 2,14 0,9807 2,34 0,9889 2,54 0,9939 2,74 0,9967 2,94
0,9684 2,15 0,9812 2,35 0,9892 2,55 0,994 2,75 0,9968 2,95
0,9692 2,16 0,9817 2,36 0,9895 2,56 0,9942 2,76 0,9969 2,96
0,97 2,17 0,9822 2,37 0,9898 2,57 0,9944 2,77 0,997 2,97
0,9707 2,18 0,9827 2,38 0,9901 2,58 0,9946 2,78 0,9971 2,98
0,9715 2,19 0,9832 2,39 0,9904 2,59 0,9947 2,79 0,9972 2,99
Приложение В
(справочное)
ν-критерий
Таблица В.1 – Значения νq при различных n, q
n q
n q
0,10 0,05
0,10 0,05
3 1,406 1,412 15 2,326 2,493
4 1,645 1,689 16 2,354 2,523
5 1,731 1,869 17 2,380 2,551
6 1,894 1,996 18 2,404 2,557
7 1,974 2,093 19 2,426 2,600
8 2,041 2,172 20 2,447 2,623
9 2,097 2,237 21 2,467 2,644
10 2,146 2,294 22 2,486 2,664
11 2,190 2,383 23 2,564 2,688
12 2,229 2,387 24 2,520 2,701
13 2,264 2,426 25 2,537 2,717
14 2,297 2,461
Приложение Г
(справочное)
Составной критерий
Таблица Г.1 – Статистика d
n d0,5q1 d1-0,5ql
0,01 0,05 0,95 0,99
11 0,9359 0,9073 0,7153 0,6675
16 0,9137 0,8884 0,7236 0,6829
21 0,9001 0,8768 0,7304 0,6950
26 0,8961 0,8686 0,7360 0,7040
31 0,8826 0,8625 0,7404 0,7110
36 0,8769 0,8578 0,7440 0,7167
41 0,8722 0,8540 0,7470 0,7216
46 0,8682 0,8508 0,7496 0,7256
51 0,8648 0,8481 0,7518 0,7291
Таблица Г.2 – Значения m и P*
n m P*
0,01 0,02 0,05
10 1 0,98 0,98 0,99
11-14 1 0,99 0,98 0,97
15-20 1 0,99 0,99 0,98
21-22 2 0,98 0,97 0,96
23 2 0,98 0,98 0,96
24-27 2 0,98 0,98 0,97
28-32 2 0,99 0,98 0,97
33-35 2 0,99 0,98 0,98
36-49 2 0,99 0,99 0,98
Приложение Д
(справочное)
Распределение Стьюдента
Таблица Д.1 – Коэффициент Стьюдента
n-1 P=0,95 P=0,99 n-1 P=0,95 P=0,99
3 3,182 5,841 16 2,120 2,921
4 2,776 4,604 18 2,101 2,878
5 2,571 4,032 20 2,086 2,845
6 2,447 3,707 22 2,074 2,819
7 2,365 3,499 24 2,064 2,797
8 2,306 3,355 26 2,056 2,779
10 2,228 3,169 28 2,048 2,763
12 2,179 3,055 30 2,043 2,750
14 2,145 2,977 ∞ 1,960 2,576
Ответ: Результат измерения Q = 483,3 ± 0,7
(Р = 0,95, n = 22).
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
